Формализованный язык классической логики предикатов является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.
Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык, потому что здесь используется особая символика.
Исходные символы:
p, q, r, s, p1… – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);
a, b, c, d, a1… – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);
x, y, z, x1… – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);
P, Q, R, S, P1… – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений);
ù — логическое отрицание («не» или «неверно, что»);
Ù — конъюнкция («и»);
Ú — дизъюнкция («или»);
Ú — строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);
É — импликация («если…, то…»);
º — тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);
» — квантор всеобщности («все», «каждый»);
$ — квантор существования («некоторые», «существуют»);
Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.
Выражения языка логики предикатов называются формулами. Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма.
Термы (индуктивное определение):
1) любая предметная переменная и предметная константа есть терм;
2) если t1, t2, …tn есть термы и fn есть n-местный предметный функтор, то fn(t1, t2, … tn) есть терм;
3) ничто, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не есть терм.
Формулы (индуктивное определение):
1) если t1, t2, …tn есть термы и Рn – n-местный предикатор, то Pn(t1, t2, …tn) есть формула (атомарная);
2) если А и В – формулы, то (АÉВ), (АÙВ), (АÚВ), ùА – формулы;
3) если х есть предметная переменная и А – формула, то «хА и $хА – формулы;
4) ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 3, не есть формула.
Использованные в определениях терма и формулы символы t1, t2, …tn и fn, Pn, А, В, х – знаки метаязыка.
Метаязык – это язык, на котором говорят о другом языке. Например, в учебнике английского языка для русских метаязыком является как раз русский язык, а английский в этом случае будет называться объектным. Объектный язык – это язык, описание которого происходит с помощью метаязыка. Если взять учебник русского языка для англичан, то объектным в нем является русский язык, а метаязыком – английский.
При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.
Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р, на языке логики предикатов запишется Р(а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q(b). То, что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р(х).
Пример 1. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р(а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».
Пример 2. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $хР(х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ — квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».
То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R(x,y).
Пример 3. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: «х«уR(х,у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».
Пример 4. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R(a,b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».
Пример 5. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R(a,b,c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c– «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».
Формулы Р(а), Р(х), R(х,у), R(a,b,c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. тему 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними заключается в том, что если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства является предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.
Знаки свойств называются одноместными предикатами. Знаками отношений являются многоместные предикаты. Так, предикаты Р(а) и Р(х) – одноместные. Предикаты R(х,у) и R(a,b,c) – многоместные: R(х,у) – двухместный предикат; R(a,b,c) – трехместный. Часто местность предиката указывают верхним индексом: R2(х,у), R3(a,b,c).
При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например: «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.
Пример 6. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R1(а), где а – «Москва»; R1 – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R1(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае трехместного) предиката R(a,b,c).
Пример 7. Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:
«х$yR(x,y),
где х употребляется вместо «студент», у — вместо «иностранный язык», R является знаком отношения «знает».
Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.
Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:
«x(P(x) É $y(Q(y) Ù R(x,y))),
где P и Q обозначают теперь соответственно «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».
Пример 8. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:
«x(P(x,a)ÉQ(x)),
где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х– «тело».