Логика - доступно для всех

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта

Отношение следования

Ранее мы заявления, что существенной функцией логики является устанавливать, что из чего следует, а тем самым указывать, какие предложения являются терминами при заданных аксиомах. До сих пор мы имели дело только с тавтологиями (общезначимыми формулами), истинность которых; логика приемлет и берётся утверждать, не используя никаких гипотез внелогического происхождения.

Помня, что в рамках исчисления высказываний мы не анализируем внутреннюю структуру атомов (или не знаем, какие предложения они выражают), вообразим, что нам сообщили из некоторого источника, постороннего для исчисления высказываний, что некоторая формула А верна на самом деле или по предположению. Например, она может быть указана нам как аксиома какой-нибудь абстрактной, теории (геометрии или теории групп); она тем самым истинна “по законам данной теории”. Формула А может быть, скажем, предложением, верным в силу физических данных, или же следствием интуитивных математических рассуждений, В какой мере включение в рассмотрение формулы А изменяет наше отношение к формулам истинность которых мы можем устанавливать, не используя ничего, кроле исчисления высказываний?

Рассмотрим пример.Пусть А - это (PÉ Q)&(PVR) (таблица (h)).

P Q R      (PÉQ)&(PVR)    QVR    PÉR      PVØQÉR        P&ØQ

t   t   t                  t                    t            t                t                   f

t   t   f                  t                    t            f               f                    f

t   f   t                  f                    t           t                t                    t

t   f   f                  f                    f            f               f                    t

f   t   t                  t                    t            t               t                    f

f   t   f                  f                    t            t               t                    f

f   f   t                  t                    t            t               t                    f

f   f   f                  f                    f             t              f                    f

Чем являются P, Q и R, держится в абсолютной тайне, и те, кто работает в исчислении высказываний, не имеют к ней допуска. Тем не менее, лишь только нам указали, что формула (PÉ Q)&(PVR) истинна, нам уже кое-что сообщили. Мы уже знаем, что система истинностных значений, приписываемых атомам P, Q, R, должна быть одной из четырех систем (строки 1, 2, 5, 7), при которых (PÉ Q)&(PVR) получает значение t в таблице (h). Поэтому, когда нам надо решать, какие еще формулы В истинны, пользуясь при этом. исчислением высказываний вместе с информацией об истинности формулы А, нам достаточно рассматривать только эти четыре набора значений. Например, зная, что А истинна, мы знаем, что QVR истинна, ибо таблица этой последней формулы ( i ) имеет t в каждой из строк 1, 2, 5 и 7. Напротив, у нас еще не хватает данных решить, истинна ли формула PÉ R, ибо ее таблица (j) дает f в строке 2. - .

Теорема 8. (a) A|=B тогда и только тогда, когда |= A É B. (b) более общо, при

m >=l : A1,..., Аm-1, Am|=В тогда и только тогда, когда Al,..., Аm-1 |= АmÉ В.

Следствие. При m>=1 А1,..., Am-1, Am|=B тогда и только тогда, когда

|=A1É (...(Am-1É (AmÉ B))…).

 

Случайная новость

  • Задание 4
    Ограничьте следующие понятия:1) Семейное право; ...