Ранее мы говорили, что в исчислении высказываний всякий атом (т. е. элементарная формула) считается выражающим некоторое высказывание, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое сразу. (Однако в исчислении высказываний не задано, какой из этих случаев имеет место).
Аналогичное предположение мы делаем в классическом исчислении предикатов относительно каждого иона (или элементарного предикатного выражения). Но чтобы сказать что-либо осмысленное относительно n-местного предиката (т. е. пропозициональной функции от п переменных), выражаемого n-местным ионом, надо указать, какие объекты являются значениями его переменных т. е., говоря математическим языком, надо указать область значений этих переменных. В таких случаях, как »х есть , человек »,»x любит у » при подстановке произвольных существительных на место х или на места х и у не обязательно получаются правильно построенные фразы, т. е. такие фразы, которые выражают высказывания, могущие иметь классическое истинностное значение. Можно спорить, будет ли выражение “х любит у” ложным или лишенным смысла, если подставить на место “х” и “у” названия растений. В обычных языках имеются пограничные когда не ясно, является ли то или иное выражение действительным обозначением чего бы то ни было. Все споры на счет мы отсечем, па крайней мере в этом месте, предположив что существует некоторое выделенное непустое множество,т.е. набор объектов, называемое предметной областью D, которую и пробегает каждая из (независимых) переменных наших пропозициональных функций. Иными словами, элементы множест D — это и есть объекты, допустимые в качестве значений переменных.Это отнюдь не тривиальное допущение, ибо в обыденных разговорах далеко не всегда удает Предикатом х< у можно пользоваться, если D является множеством вещественных или натульных чисел 0, 1,-2, … Но тогда предикат “определенн не везде”. Ни в одной из трех названных областей D не определен повсюду предикат х/у = z (он не определен при у = 0) .
В математике бывает, что разным переменным приписываются разные области значений; например, х, у, z пробегают вещественные, а m, n, p, …—целые числа. Для максимального упрощения изложения мы не станем делать предположений такого рода. Все наши переменные должны иметь одну и тy же область изменения D, хотя в зависимости от приложений последний может, варьироваться. Было бы не трудно, отталкиваясь от трактовки исчисления предикатов как исчисления с одним сортом переменных, перейти к исчислению предикатов с двумя сортами переменных: с областью значений D1 и с областью значений D2. Можно рассмотреть и произвольное число сортов переменных.