Формальные системы — это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательность символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах), сами операции также являются операциями над символами. Термин «формальный» подчёркивает, что объекты и операции над ними рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов. Предполагается, что между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.
Исторически теория формальных систем, так же как и теория алгоритмов, возникла в рамкам оснований математики при исследовании строения аксиоматических теорий и методов доказательства в таких теориях. Всякая точная теория определяется, во-первых, языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории, и, во-вторых, совокупностью теорем — подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.
В математике с античных времён существовал образец систематического построения теории — геометрия Евклида, в которой все исходные предпосылки сформированы явно, в виде аксиом, а теоремы выводятся из этих аксиом с помощью цепочек логических рассуждений, называемых доказательствами. Однако, до середины 19 века математические теории, как правило, не считали нужным явно выделять все исходные принципы, критерии же строгости доказательств и очевидности утверждений в разные времена были различными и явно не формулировались. Время от времени это приводило к необходимости пересмотра основ той или иной теорий. Известно, например, что основания дифференциального и интегрального счисления, разработанных в 18 век Ньютоном и Лейбницем, в 19 века подверглись серьёзному пересмотру. Математический анализ в его современном виде опирается на работы Коши, Больцано и Вейерштрасса по теории пределов.
В конце 19 века такой пересмотр затронул общие принципы доказательств в математических теориях. Это привело к созданию новой отрасли математики — оснований математики, предметом которой и стало построение теорий, чтобы в них не возникало противоречий. Одной из фундаментальных идей, на которые опираются исследования по основанию математики, является идея формализации теорий, т.е. последовательного проведения аксиоматического метода построения теорий.
При этом не допускается пользоваться какими-либо предположениями об объектах теории, кроме тех, которые выражены явно в виде аксиом; аксиомы рассматриваются как формальные последовательности символов ( выражения), а методы доказательств— как методы получения одних выражении из других с помощью операций над символами. Такой подход гарантирует четкость исходных утверждений и однозначность выводов, однако может создаться впечатление, что осмысленность и истинность в формализованной теории не играют никакой роли. Внешне это так, однако, в действительности и аксиомы и правила вывода стремятся выбирать таким образом, чтобы построенной с их помощью формальной теории можно было придать содержательный смысл.
Более конкретно формальная система(или исчисление) строится следующим образом.
1. Определяется некоторое счетное множество символов, т.е. множество, элементы которого могут быть взаимно однозначно сопоставлены элементам натурального ряда 1,2,…N, которые называется термами. Имеется другое конечное множество символов, элементы которого называются связками или операциями. Наконец, существует конечное множество вспомогательных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями данной системы.
2. Определяется множество формул, или правильно построенных выражений, образующее язык теории. Это множество задается конструктивными средствами (как правило, индуктивным определением) и, следовательно, перечислимо. Обычно оно и разрешимо. Для правильно построенных формул (ППФ) задаются правила их конструирования, т.е. определяется эффективная процедура, с помощью которой по данному выражению выясняется, является ли формула правильно построенной в данной формальной системе (ФС) или нет. Формула, для которой существует такая процедура, называется разрешимой в данной ФС, в противном случае неразрешимой. Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм выяснения свойства формулы быть теоремой, для этого требуются все новые и новые озарения (изобретательства), не поддающиеся формализации.
3. Выделяется подмножество формул, называемых аксиомами ФС. Так же как и для ППФ для аксиом должна иметься процедура, позволяющая определить, является ли ППФ аксиомой или нет. Подмножество может быть и бесконечным, во всяком случае, оно должно быть разрешимо.
4. Задается конечное множество R1, R,2,..,Rk отношений между ППФ, называемых правилами вывода. Должна иметься эффективная процедура, позволяющая для произвольной конечной последовательности ППФ решить, может ли каждый член этой последовательности быть выведен с помощью конечного числа правил вывода. Правило вывода R(F1, …, Fn, G) —это вычислимое отношение на множестве формул. Если формулы F1, …, Fn, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F1, …, Fn по правилу R. Часто правило R(F1, …, Fn, G) записывается в виде (F1, …, Fn)/G. Формулы F1, …, Fn называются посылками правила R, a G—его следствием или заключением. Примеры аксиом и правил вывода будут приведены несколько позднее.
Выводом формулы В из формул A1, …, An называется последовательность формул F1, …, Fm, такая, что Fm = B, а любая Fi(i = 1,…,m) есть либо аксиома, либо одна из исходных формул A1, …, An, либо непосредственно выводима из формул F1, …, Fi-1 (или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода. Если существует вывод В из A1, …, An, то говорят, что В выводима из A1, …, An. Этот факт обозначается так: A1,…,An├ В. Формулы A1, …, An называются гипотезами или посылками вывода. Переход в выводе от Fi-1 к Fi называется i-м шагом вывода.
Доказательством формулы В в теории Т называется вывод В из пустого множества формул, т. е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксиомы. Формула В, для которой существует доказательство, называется формулой, доказуемой в теории Т, или теоремой теории Т; факт доказуемости В обозначается ├ В.
Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости. Поэтому если ├В, то А├В, и если A1, …, An ├ В, то A1, …, An, An+1 ├ В для любых A и An+1. Порядок гипотез в списке несуществен.
Например, если удалось построить вывод В из A1, …, An, то элементы последовательности ППФ A1, …, An называются посылками вывода (или гипотезами). Сокращенно вывод В из A1, …, An записывается в виде A1, …, An ├ В, или если Г= {A1,.., An} то Г├ В. Напомним, что вывод ППФ без использования посылок есть доказательство ППФ В, а сама В – теорема, и это записывается ├ В.
Далее вставка 4В