Логические представления — описание исследуемой системы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними. Логические представления и их составляющие характеризуются определенными свойствами и набором допустимых преобразований над ними (операций, правил вывода и т.п.), реализующих разработанные в формальной (математической) логике правильные методы рассуждений — законы логики.
Способы (правила) формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически правильных преобразований, а также способы (методы) установления истинности или ложности высказываний изучаются в математической логике. Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов (рис. 1.1), для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления. Между основными понятиями этих языков формальной логики имеет место взаимно однозначное соответствие. Их изоморфизм обеспечивается в конечном итоге единством законов логики, лежащих в основе допустимых преобразований.
Рис. 1.1
Основными объектами традиционных разделов логики являются высказывания.
Высказывание — повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Все научные знания (законы и явления физики, химии, биологии и др., математические теоремы и т.п.), события повседневной жизни, ситуации, возникающие в экономике и процессах управления, формулируются в виде высказываний. Повелительные и вопросительные предложения не являются высказываниями.
Примеры высказываний: «Дважды два — четыре», «Мы живем в XXI веке», «Рубль — российская валюта», «Алеша — брат Олега», «Операции объединения, пересечения и дополнения являются булевыми операциями над множествами», «Человек смертен», «От перестановки мест слагаемых сумма не меняется», «Сегодня понедельник», «Если идет дождь, вам следует взять зонт».
Для того чтобы далее оперировать этими предложениями как высказываниями, мы обязаны знать относительно каждого из них, истинно оно или ложно, т.е. знать их истинностное значение (истинность). Заметим, что в ряде случаев истинность или ложность высказывания зависит от того, какую конкретную реальность (систему, процесс, явление) мы пытаемся с его помощью описать. В таком случае говорят, что данное высказывание истинно (или ложно) в данной интерпретации (контексте). Далее предполагаем, что контекст задан и высказывание имеет определенное истинностное значение.