Ошибки, обычно встречающиеся в доказательствах, относятся либо к его содержанию, либо к форме.
Содержательная ошибка — это использование в доказательстве ложных посылок. Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из посылок.
Иногда эту ошибку сокращенно так и называют «не вытекает». Лучшее средство предупреждения формальных ошибок — изучение теории умозаключений, знание и применение законов логики. .
Следует отметить, что перечисленные ошибки относятся к несоблюдению правил демонстрации. Однако в доказательстве существуют и другие правила, несоблюдение которых также ведет к ошибкам.
Правила тезисов. По отношению к тезису могут быть выдвинуты два правила: тезис должен быть ясно сформулирован и тезис не должен меняться в ходе доказательства.
Нарушение первого правила может привести к потере тезиса: его забыванию или преобразованию. Нарушение второго правила влечет ошибку, которая называется «подмена тезиса».
Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что нужно было доказать, а совершенно другое положение.
Правила аргументов. По отношению к аргументам также существуют определенные правила: аргументы должны быть истинными и истинность аргументов должна быть обоснована независимо от тезиса.
Нарушение первого правила ведет к ошибке, которая называется «основное заблуждение», и характеризуется попыткой доказать тезис с помощью ложных аргументов.
Нарушение второго правила ведет к ошибке «круг в доказательстве»: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения,’ высказанного, возможно, в другой форме.
Например, на вопрос «Почему мы видим через стекло?» существует обычный ответ: «Оно прозрачное». Но назвать вещество прозрачным — значит, сказать, что сквозь него можно видеть.
Еще в XVII в. немецкий философ Г.В. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как «игру со знаками». Идея Г.В. Лейбница — это идея формализации доказательства, сведения его к преобразованию одних последовательностей знаков а другие их последовательности.
Формализованное доказательство — это доказательство, записанное на специальном искусственном — формализованном — языке.
Оно имеет точно установленную структуру и простые правила, благодаря чему процесс доказательства сводится к элементарным операциям со знаками. Формализация играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы и поставлены, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения.