Логика высказываний — предметом изучения в теории являются высказывания.
Законы логики высказываний представляют собой тождественно истинные высказывания, т.е. высказывания, остающиеся истинными при любых значениях входящих в них простых высказываний. Все тождественно истинные высказывания являются законами логики.
ОСНОВНЫЕ
• Закон тождества: если х, то х, т.е. х ’х.
• Закон упрощения: если х и у, то х, т.е. х ^ у ’х. То же самое относится к другому конъюнктивному члену: x ^ y’y
• Закон эквивалентности: если из х следует у, а из у следует х, тогда высказывания эквивалентны, т.е. x ”y.
• Закон гипотетического силлогизма: если из х следует у, а из у следует z, то из х следует z, т.е. ((x ’y) ^ (y ’z)) ’ (x’z)
• Закон двойного отрицания: если из х следует не-х, то отрицание последнего приводит к первоначальному высказыванию: ¬ (¬x) ” x
• Законы О. де Моргана дают возможность переходить от конъюнкции к дизъюнкции и, наоборот, от дизъюнкции к конъюнкции:
а) отрицание конъюнкции высказываний эквивалентно дизъюнкции из отрицаний конъюнктивных членов: ¬ (x ^ y) ” (¬x \/ ¬y)
б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаемых членов дизъюнкции: ¬ (x \/ y) ” (¬x ^ ¬y)
• Закон «поглощения»: конъюнкция или дизъюнкция одинаковых высказываний эквивалентна самому высказыванию, т.е. повторяющийся член «поглощается»:
(x ^x) ’ x и (x \/ x) ’ x.
• Коммутативные законы для конъюнкции и дизъюнкции разрешают перестановку их членов: (x ^ y) ” (x ^ y) и (x \/ y) ” (y \/ x).
• Ассоциативные законы для конъюнкции и дизъюнкции позволяют по-разному сочетать члены, т.е. по-иному расставлять скобки:
x ^ (y ^ z) ” (x^y) ^ z или x \/ (y \/ z) ” (x \/ y) \/ z.
• Закон контрапозиции разрешает прямую импликацию заменять обратной, в результате чего антецедент первой заменяется отрицанием консеквента второй, а ее консеквент – отрицанием антецедента. Проще говоря, при контрапозиции происходит перестановка членов импликации или их контрапозиция, но они берутся с отрицаниями:
(x ’ y) ” (¬y’ ¬x)
• Закон противоречия: два противоречащих друг другу высказывания, т.е. высказывание х и его отрицание не-х, не могут быть вместе истинными: (x ^ ¬x)
Поскольку этот закон запрещает противоречия в рассуждении, то его часто называют также законом непротиворечия, и последнее более правильно.
• Закон наслюненного третьего: из двух противоречащих друг другу высказываний только одно является истинным. Тогда второе будет ложным и никакой третьей возможности не существует: x Ъ ¬x
Среди перечисленных законов необходимо выделить самые основные, которые обычно называются законами логики. К ним относятся законы тождества, противоречия и исключенного третьего.
Все законы исчисления высказываний являются тождественно истинными (общезначимыми формулами). Какие бы истинностные значения не придавались входящим в них высказываниям, в конечном счете формула оказывается всегда истинной. Вот почему эти законы явно или неявно применяются в любом рассуждении, ибо именно с их помощью становится возможным преобразовать и упрощать имеющуюся информацию и приходить к определенным заключениям.
Поскольку законы исчисления высказываний являются такими же общезначимыми по своему характеру, как и основные законы логики, то в принципе они ничем не отличаются от них. Если мы продолжаем отличать их от основных законов логики, то это скорее дань традиции, хотя для характеристики разных систем такое различие продолжает сохранять свое значение. Так, конструктивную логику мы отличаем от классической по отсутствию в ней закона исключенного третьего.