Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):
1) а, Ь, с,… — символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;
2) х, у, z, … — символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;
3) Р’, Q’, R’,… — символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;
4) р, q, r, … — символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозициональными переменными;
5) V, 3 — символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: V — квантор общности; он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда и т.п.; 3 — квантор существования; он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
6) логические связки:
^ конъюнкция «и»;
V дизъюнкция «или»;
—> импликация «если…, то…»;
•= эквиваленция, или двойная импликация «если и только если…, то…»;
«1 отрицание «неверно, что…».
Технические знаки языка: (,) левая и правая скобки.
Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:
1. Всякая пропозициональная переменная—p,q, r,… есть ППФ.
2.Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А’ (х), А2 (х, у), А^х, у, z), А» (х, у,…, п), где А1, А2, А3,…, А» — знаки метаязыка для предикаторов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения V хА (х) и Э хА(х) также будут ППФ.
4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул, то выражения:
А ^ В,
A v B,
А -> В,
А=В,
-I А, -1 В также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1—4, не являются ППФ данного языка.
С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов.
Этот алфавит отражает семантические категории естественного языка и включает следующие виды знаков (символов):
1) a, b, c, … — символы для единичных имен предметов; их называют предметными постоянными (константами);
2) x, y, z, … — символы общих имен предметов; их называют предметными переменными;
3) P1 , Q1 , R1 , …; P2 , Q2 , R2 , …; Pn , Qn , Rn — символы для предикаторов, индексы которых выражают их местность: 1 — одноместный, 2 — двухместный, n — n-местный. Их называют предикатными переменными;
4) p , q , r — символы для высказываний, которые называют высказывательными, или пропозиционными переменными (от лат. propositio — ‘высказывание’);
5)
|
U |
E |
Символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами:
|
U |
— квантор общности, он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда …
E
— квантор существования, он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует…
6) логические связки:
^ — конъюнкция (соединительное «и»);
V — дизъюнкция (разделительное «или»);
® — импликация («если…, то…»);
= — эквивалентность (если и только если…, то…»);
¬ — отрицание («неверно, что…»);
7) технические знаки: (;) — левая и правая скобки.
Других знаков, кроме перечисленных, алфавит языка логики предикатов не включает.
Для буквенных обозначений видов суждений берутся гласные из латинских слов AffIrmo — ‘утверждаю’ и nEgO — ‘отрицаю’, сами суждения иногда записывают так: SaP, SiP, SeP, SoP.
С помощью приведенного искусственного языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов. Систематическое изложение логики предикатов дается в учебниках по символической логике. Элементы языка логики предикатов используются в изложении отдельных фрагментов естественного языка.
Алфавит логики предикатов содержит следующие символы:
1) символы предметных переменных – обычно строчные латинские буквы с индексами или без них;
2) символы предикатов – обычно прописные латинские буквы с индексами или без них;
|
3) логические символы: ¬, ^, v, |
U |
,~ |
|||
|
4) символы кванторов – |
Е |
А |
|
||
5) скобки и запятую.
Слово в алфавите логике предикатов называется формулой, если оно удовлетворяет следующему индуктивному определению:
1) Если P – символ предиката, x1, x2,…, xn – символы предметных переменных, то P(x1,x2,…,xn) – формула. Такая формула называется атомарной. Все предметные переменные атомарных формул свободные, связанных переменных нет.
2) Пусть A – формула. Тогда ¬A тоже формула. Свободные и связанные переменные формулы ¬A – это соответственно свободные и связанные переменные формулы A.
3) Пусть A и B – формулы, причем нет таких предметных переменных, которые были бы связаны в одной формуле и свободны в другой. Тогда A^B, AvB, AUB, A~B есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные переменные формул A и B остаются связанными.
4) Пусть A – формула, содержащая свободную переменную x. Тогда ЕxA, АxA тоже формулы, Переменная x в них связана. Остальные переменные, которые в формуле A свободны, остаются свободными, а переменные, которые в формуле A связаны, остаются связанными. Говорят, что формула A есть область действия квантора.
5) Слово в алфавите логики предикатов 1–5 является формулой только в том случае, если это следует из правил 1–4.
Заметим, что по определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.
Значение формулы определено лишь тогда, когда задана какая-нибудь интерпретация (модель) входящих в нее символов, т.е. система D=M, f >, состоящая из непустого множества M и соответствия f, которое для каждого предикатного символа P(n) определяет n-местный предикат.
Рассмотренная ранее классическая логика высказываний (КЛВ) является весьма бедной логической теорией. С ее помощью мы можем выделить только узкий класс логически истинных высказываний, в рамках КЛВ можно обосновать правильность лишь достаточно ограниченного числа дедуктивных умозаключений.
Причиной такой ограниченности являются недостаточные выразительные возможности ее языка. Действительно, решая в рамках КЛВ вопросы о логической истинности высказываний, о правильности или неправильности умозаключений, мы отвлекаемся от внутренней структуры простых высказываний, заменяя их пропозициональными переменными. Но во многих случаях логическая истинность высказывания и правильность умозаключения как раз и обуславливаются особенностями внутренней структуры простых высказываний.
Примером подобного логически истинного высказывания может быть следующее:
1. Всякий школьник не остроумен, или некоторые школьники остроумны.
Данное высказывание состоит из двух отличных друг от друга простых высказываний, которые связаны союзом «или». Поэтому, если при выявлении его логической формы мы будем полностью абстрагироваться от содержания простых высказываний, то получим следующее выражение:
1а. p или q, где р — всякий школьник не остроумен, а q — некоторые школьники остроумны.
На основании данного преобразования мы можем установить, что выражение «p или q» не относится к числу логических законов.
Выявим теперь логическую форму выражения 1 другим способом, учитывая внутреннюю структуру простых высказываний, замещая общие термины «школьник» — S и «остроумный человек» — Р. Получим:
1б. Всякий S не есть Р, или некоторый S есть Р.
Данное выражение является логическим законом, поскольку любое высказывание этой формы — истинно. Следовательно, высказывание 1 — логически истинно, но для установления данного факта требуется достаточно глубокий уровень анализа его логической формы.
Адекватный логический анализ высказываний и умозаключений такого типа может быть осуществлен только в рамках таких логических теорий, которые строятся с использованием формализованных языков с большими выразительными возможностями. Необходимо, чтобы данные языки позволяли выражать логические формы простых высказываний, раскрывая при этом их внутреннюю структуру — то есть, указывая на то, какого типа логические и нелогические термины входят в состав высказывания и каким образом эти термины соединяются между собой.
Рассмотрим еще один формализованный язык логики предикатов. С помощью этого языка можно детально выражать внутреннюю структуру простых высказываний. В рамках построенного формализованного языка сформулирована логическая теория — классической логики предикатов (КЛП).
Построение любого формализованного языка начинают с алфавита — совокупности исходных символов, которые обычно подразделяются на нелогические, логические и технические.
Нелогические термины языка логики предикатов.
В логике предикатов выделяют 3 основные типа нелогических терминов — это имена, предметные функторы и предикаторы.
Именем называется термин, обозначающий отдельный объект (индивид). Выделяют простые и сложные имена. Простые имена не содержат никакой полезной информации об обозначаемых ими индивидах, являются как бы «метками» данных объектов. Их называют собственными именами. Например: «Луна», «Аристотель», «Москва».
Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на какое-либо его свойство, характеристику. Например: Сложное имя «естественный спутник Земли» не просто обозначает Луну, но и содержит определенную информацию об этом небесном теле: оно вращается вокруг Земли.
Наиболее распространенный вид функций — это так называемые предметные функции. К предметным функциям относятся, например, арифметические операции над числами — извлечение квадратного корня сопоставляет отдельным числам — отдельные числа: например, индивиду 4 — индивида 2, индивиду 9 — индивид 3.
К разряду предметных функций относятся не только операции над числами. Например, функция сопоставляющая каждому государству его столицу тоже является предметной: Россия — Москва, Франция — Париж, так как она сопоставляет индивидам (государствам) — индивиды (города).
Рассмотренные операции представляют собой функции от одного аргумента, или одноместные функции. Операция сложения, например, является двухместной, так как двум индивидам (паре) сопоставляется один. Не числовая двухместная предметная функция — это функция, сопоставляющая, например, парам населенных пунктов — расстояние между ними: городам Москва и Санкт-Петербург — величину длины, равную 650 км. Термины, с помощью которых в языке представляются предметные функции, называются предметными функторами. Например, функция извлечения квадратного корня представляется знаком «», функция сложения — знаком «+». Итак, n-местный предметный функтор — это знак n-местной предметной функции.
Предметные функторы играют в естественном языке определенную синтаксическую роль, с их помощью можно из одних выражений строить другие выражения языка. Посредством присоединения предметного функтора к именам может быть получено новое более сложное имя. Например: Соединяя функтор «» с именем «4», получаем сложное имя «4». Его значением является число 2.
Еще пример, соединяя предметный функтор «столица» с именем «Россия», получаем новое сложное имя «столица России». Его предметным значением является Москва.
Предикаторы — это третий тип нелогических терминов. Это знаки свойств и отношений, представляющие то, что может соотноситься с предметом. Термины, представляющие свойства (например, «красный», «способный изучать логику» и др.) являются одноместными предикаторами. Термины представляющие отношения между предметами — многоместные предикаторы («больше», «старше»).
Значениями предикаторов можно так же считать множества, элементами которых являются либо отдельные предметы, либо последовательности предметов (пара и т. д.). Например, значение одноместного предикатора «красный» — все множество красных предметов.
С этой точки зрения, такие термины как «человек», «государство» — следует так же отнести к одноместным предикаторам, так как их значениями являются множества индивидов (людей, государств).
Итак, приступим к заданию алфавита языка логики предикатов. Нелогическими символами данного формализованного языка являются параметры нелогических терминов естественного языка — параметры имен, предметных функторов и предикаторов.
Первую группу символов составляют предметные (индивидные) константы — параметры имен естественного языка. В качестве символов будем использовать буквы латинского алфавита- a, b, c, d без индексов или с индексами:
a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 и так далее.
При переводе выражений естественного языка на язык логики предикатов простые имена заменяются предметными константами, причем одинаковые имена — одинаковыми символами.
Вторая группа нелогических символов — n-местные предметно-функциональные константы (n ≤ 1):
f, g, h, f, g, h и так далее.
Верхний индекс указывает наместность константы. Одноместный предметный функтор «столица» может быть заменен константой f1, а двухместный «расстояние от… до…» — параметром g2.
Третья группа — n-местные предикаторные константы (n > 1):
Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, Qn1 …
Верхний индекс указывает на местность константы. Например, одноместный предикатор «человек» обозначается предикаторной константой P1. Иногда верхние символы предметно-функциональных и предикаторных констант опускают.
Еще одна группа — предметные (индивидуальные) переменные:
x, y, z, x1, y1, z1, …
Такие переменные используются в ЯЛП для формальной записи выражений, содержащих кванторы общности и существования.
Логические символы ЯЛП — двух типов. Первый тип — пропозициональные связки — и второй тип — кванторные символы: — квантор общности (в естественном языке «для всякого…») и — квантор существования («существует…»).
Технические символы — скобки и запятые.
Построение языка логики предикатов завершено.