Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.
Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy.
Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.
1. Отношение называется симметричным «соразмерность», если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства, сходства, одновременности, различия и некоторые другие.
Отношение симметричности символически записывается: xRy -> yRx.
2. Отношение называется рефлексивным «отражение», если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства и одновременности.
Отношение рефлексивности записывается: xRy -> xRx л yRy.
3. Отношение называется транзитивным «переход», если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.
Транзитивными являются отношения равенства, одновременности.
Отношение транзитивности записывается: (xRy л yRz) -> xRz.
Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.
Из свойства симметричности (xRy—>yRx) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно.
Из свойства рефлексивности (xRy—>xRx л yRy) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения ~ и yRy.
Из свойства транзитивности (xRy л yRz->xRz) вытекает правило: если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждею xRz также истинно.