Математическая логика (называемая также символической логикой)—это логика, развиваемая с помощью математических методов. Этот термин имеет и другой смысл: изучать математическую логику — значит изучать логику, используемую в математике.
Логика выполняет важное назначение: она говорит нам, что из чего следует. Излагая математическую теорию, мы всякий раз пользуемся логикой. Общеизвестным примером служит изложение геометрии в “Началах” Евклида (330—320 гг. до н. э.), где с помощью логики теоремы выводятся из аксиом (постулатов). Да и любой другой математический текст демонстрирует логические связи. И не только математический — логика используется точно так же для систематизации научного знания вообще, да и в повседневной жизни она служит инструментом рассуждений и доказательств.
Итак, мы собираемся изучать логику, и притом с помощью математических методов. Но тут мы встречаемся с парадоксом: разве для того, чтобы изучать логику с помощью математики (да и вообще любым систематическим методом), нам не придется пользоваться самой логикой?
Этот парадокс решается просто, но чтобы до конца понять, как это делается, потребуется некоторое время. Основная идея здесь состоит в том, что мы будем тщательно различать логику, которую мы изучаем, и логику, с помощью которой это делается, тогда нам придется различать и соответствующие языки: изучаемая нами логика формулируется на некотором языке, который мы будем называть предметным языком (или языком — объектом), поскольку этот язык — так же как и связанная с ним логика — является предметом (объектом) нашего изучения. Язык же, в рамках которого мы исследуем предметный язык (употребляя при этом те логические средства, которые могут понадобиться), мы так и назовем языком исследователя. Соответственно можно говорить о предметной (или объектной) логике и логике исследователя. Необходимо все время помнить об этом различии между изучаемой (предметной) логикой и логикой как средством такого изучения (т. е. логикой исследователя). Тому, кто не готов к этому, стоит сразу же закрыть эту книгу и подыскать себе другое занятие по вкусу (скажем, составление шарад или пчеловодство).
Логика — подобно, например, физике или истории — насыщена весьма богатым и разнообразным материалом. И по примеру других наук мы начнем со сравнительно ограниченного и нетрудного ее раздела, чтобы затем иметь возможность продвигаться вширь и вглубь.
Раздел логики, с которого мы начнем, посвящен изучению связей между высказываниями — связей, определяемых исключительно тем, каким образом одни высказывания строятся из других, “элементарных”, играющих при этом роль строительных блоков. Эту часть логики называют логикой высказываний, или исчислением высказываний.
Мы воспринимаем высказывания через выражающие их повествовательные предложения некоторого языка (предметного языка). Высказывания суть смыслы этих предложений. Повествовательные предложения выражают высказывания (в то время как вопросительные предложения выражают вопросы, а повелительные предложения — приказания, команды). Одно и то же высказывание может быть выражено разными (повествовательными) предложениями. Например, предложения “Джон играет с Джейн” и “Джейн играет с Джоном” выражают одно и то же высказывание, а предложение “Джон играет с Мери” — некоторое другое высказывание. Если отношение < обычным образом связано с отношением >, то предложения “5 < 3” и “3 > 5” выражают одно и то же высказывание (причем ложное), а именно, что после прибавления к 5 некоторого положительного числа получается 3; предложение же «52 — 42 = 10» выражает некоторое другое высказывание (также ложное). Каждое из этих трех предложений выражает утверждение относительно результата некоторой математической процедуры; в двух первых предложениях говорится об одной и той же процедуре, в третьем — о другой. Предложения “3 — 2=1” и “(481 — 581)+ 101 = 1” выражают два разных высказывания (оба истинные). Чтобы сэкономить время и обеспечить себе гибкость в приложениях, мы не станем сейчас описывать никакие конкретные предметные языки (примеры будут даны позже).
В этой главе мы будем предполагать только, что рассматривается тот или иной предметный язык, в котором выделен некий класс (повествовательных) предложений, причем этот класс состоит из некоторых определенных предложений (упомянутых выше “строительных блоков”), а все прочие предложения могут быть построены из них посредством некоторых операций описываемым, ниже способом. Эти предложения мы будем называть формулами, поскольку они — или хотя бы их названия—будут выражаться с помощью математической символики.
Прежде всего в нашем языке нам понадобятся однозначно построенные предложения, внутренняя структура которых нас совершенно не будет интересовать (пока мы остаемся в пределах исчисления высказываний), —нам надо лишь уметь распознавать и различать их. Мы назовем эти предложения элементарными формулами, или атомами, и будем обозначать их прописными буквами конца латинского алфавита: “Р”, “Q”, “R”,… …., “Р1”, “Р2”, “Р3”, ….Различные буквы будут представлять различные атомы, а каждая из них на протяжении любого конкретного рассуждения должна обозначать один и тот же атом.
Кроме того, нам будут нужны пять конкретных операций (конструкций), позволяющих из данных предложений строить новые предложения. Исходя из элементарных формул (атомов), мы можем использовать эти операции снова и снова для построения других предложений — сложных формул, или молекул. Фор-мулами мы будем называть элементарные формулы и сложные формулы. Если А и В — какие-либо данные формулы (т. е. либо атомы, либо уже построенные сложные формулы), то — А ~В, А É В, А&В, A V B также являются (сложными) формулами. Если А — данная формула, то Ø A — также (сложная) формула.Первые четыре операции—бинарные ( двуместные ), пятая унарная (одноместная).
Символы “~”, “É ”, “&”, “V” и “Ø ” называют пропозициональными связками1) (или связками исчисления высказываний). Их можно читать, пользуясь словами, приведенными в правой части следующей таблицы, до с символами легче манипулировать, их удобнее писать.
Эквивалентность ~ “эквивалентно”, “равносильно”, “тогда и только тогда”
Импликация É “влечет”, “если…, то..,”, “только если”
Конъюнкция & “и”
Дизъюнкция V “или”, “… или … или оба”, “и/или”
Отрицание Ø “не”, “неверно, что”
Отметим, что в естественных (“словесных”) языках, например в русском, имеются двусмысленности (об этом пойдет речь ниже). Поэтому логики склонны создавать специальные символические языки. И наш неуточненный предметный язык можно рассматривать как символический язык этого рода, имеющий символы “~”, “É ”, “&”, “V” и “Ø ”, играющие роли, которые точно будут описаны ниже, но приблизительно описываются с помощью приведенных выше словосочетаний. Наш предметный язык также можно воспринимать как надлежащим образом ограниченную и регламентированную часть естественного языка (например, рус-ского); тогда “~”,“É ”, “&”, “V” и “Ø ” можно понимать как имена в языке исследователя для выражений, фигурирующих в правой части приведенной выше таблицы.
Названия, приведенные в левой части таблицы, применяются как к пропозициональным связкам, так и к построенным с их помоищью формулам. Например, “&” есть символ конъюнкции, а выражение А&В — конъюнкция А и В. Точно так же АÉ В есть импликация и т. п.
Во избежание путаницы в вопросе о том, какие формулы являются атомами, условимся, что никакой атом не имеет вида А~В или АÉ В, или А&В, или AVB, или Ø А; такой вид разрешается иметь только молекулам. Таким образом, атомами
могут быть высказывания: “Сократ—человек”, “Джон играет с Мери”, “Джон играет с Джейн”, “5 < 3”, “3 > 5”, “а + b = c” и “а>0” (здесь “а”, “b”, “с” обозначают числа); напротив, такие высказывания, как “Джон играет с Мери или Джон играет с Джейн”, “Ø 15< 3” и “5 < 3 ~ 3 > 5”, должны считаться молекулами.
Мы будем пользоваться большими латинскими .буквами начала алфавита: “А”, “В”, “С”, …, “A1”, “A2”, “А3”,…. для обозначения произвольных формул (не обязательно атомов). Различные такие буквы “А”, “В”, “С”,…, “А1”, “А2”, “А,”… не обязательно обозначают различные формулы (в противоположность буквам Р, Q, R, P1, Р2, Р3, …, которые обозначают различные атомы).
Прочтение сложных формул может стать неоднозначным, если не ввести скобок, указывающих, в каком порядке увязываются символы между собой. Поэтому мы будем писать (“(А É В)É С” или “AÉ (BÉ С)”, а не “AÉ BÉ C”). Впрочем, число скобок можно уменьшить, приписав нашим связкам убывающие “ранги” в следующем. “порядке старшинства”:
~, É , &, V, Ø .