В этой главе мы ограничиваемся изучением логики высказываний. Более того, в ней и в последующих главах мы в первую очередь будем заниматься некоторой определенной частью логики: так называемой классической логикой.
Со времени открытия неевклидовых геометрий Лобачевским (1829г.) и Бойяи (1833г.) стало ясно, что мысленно равновозможны различные системы геометрий. Точно так же имеются и различные логики на базе одних и тех же математических постулатов можно построить разные теории, различия в которых обусловливаются той логической системой, с помощью которой осуществляется вывод. Подобно евклидовой геометрии (по сравнению с другими геометиями), классическая логика является самой простой и наиболее потребительной логической системой (в математике, точных науках и в повседневной жизни). В этой книге мы лишь вкратце коснемся других логик.
До сих пор о наших атомах предполагалось лишь то, что мы умеем их идентифицировать, т. е. всякий раз, как мы встретим атом, мы сумеем его узнать и отличить от других атомов.
Сейчас мы введем дополнительное допущение, характерное для классической логики: мы предположим, что всякий атом (или высказывание, которое он выражает) является либо истинным, либо ложным (но не тем и другим одновременно).
Мы не предполагаем, что относительно каждого атома мы знаем, истин он или ложен. Чтобы знать это, надо было бы проникнуть внутрь атомов или же рассматривать те факты, с которыми они соотносятся при принятой интерпретации слов или символов,— все это не входит в компетенцию исчисления высказываний.
Итак, мы предполагаем, что для каждого атома есть ровно две возможности: он может быть истинным, он может быть ложным.
Тогда возникает следующий вопрос: как зависит истинность или ложность
(значение истинности, или истинностное значение) сложной формулы (молекулы) от истинностных значений тех простых формул (атомов), которые ее составляют? Это будет установлено с помощью пяти определений, данных в следующих таблицах. Эти таблицы соотносят истинностное значение каждой молекулы с истинностными значениями каждой из ее непосредственных составляющих. В левых их столбцах мы помещаем все возможные распределения значений “истина” t и “ложь” f для непосредственных составляющих молекулы. Тогда на соответствующей горизонтали мы находим истинностное значение, принимаемое рассматриваемой молекулой при данном распределении (оно располагается в столбце для этой молекулы):
A B A~B AЙB A&B AvB
t t t t t t
t f f f f t
f t f t f t
f f t t f f
Таким образом, A~B истинно тогда и только тогда, когда А и В имеют одинаковые истинностные значения (почему ~ и называют “эквивалентностью”: ведь “эквивалентны” как раз и означает “равнозначны”, “принимают одни и те же значения”); A É В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно; А&В истинно тогда и только тогда, когда и А, и В истинны; А V В ложно тогда и только тогда, когда и А, и В ложны; наконец Ø А истинно тогда и только тогда, когда А ложно. Проиллюстрированный нами процесс вычисления чисто механическая процедура, посредством которой можно вычислить таблицу истинности любой формулы Е, точнее таблицу истинности формулы Е при заданном на (вертикальных) входах списке P1, …, Рn элементарных составляющих формулы Е.
На практике вовсе не обязательно полностью придерживаться описанной процедуры. Достаточно заметить, что формула AÉ В истинна всегда, когда А ложна (независимо от значений истинности для В), и сразу же можно поставить t в последние четыре строчки описанной выше таблицы. Имеются такие формулы, в таблицах которых столбец значений содержит только t, например
P& Ø PÉ (QVRÉ (RÉ Ø P)), PÉ Ø P~ Ø P и PÉ P
как может проверить читатель. Тут порядок, в котором предъявляют список атомов, становится безразличным. (Почему?) ‘Такие формулы истинны всегда независимо от истинности или ложности их элементарных подформул. Даже не зная истинностных значений элементарных составляющих, мы можем сказать, что составленная из них формула истинна. Такие формулы называют общезначимыми, или тождественно истинными, или (по Витгенштейну ) тавтологиями (в исчислении высказываний или в силу исчисления высказываний).