В исчислении высказываний мы изучали логические отношения, зависящие от способа, каким высказывания составлены из определенных блоков посредством операций, выражаемых символами . Сами эти блоки дальше не анализировались. В
исчислении предикатов мы продвинемся в своем анализе на ступеньку глубже с тем, чтобы рассмотреть то, что в грамматике называют “субъектно-предикатной структурой”. Для этого введем две новые операции » (“для любого”) и $ (“для некоторых” или “существует”), зависящие от этой грамматической структуры. (Исчисление же высказываний входит в исчисление предикатов как составная часть.)Возьмем высказывание (выражаемое предложением): “Сократ есть человек”. Часть этого высказывания (выражаемая конструкцией “— есть человек” или “х есть человек”)—это то, что называется предикатом, или сказуемым; “Сократ” же—это субъект (подлежащее). Если читать “х есть человек”, имея в виду математическое понятие переменной, то предикат-сказуемое выступает в роли пропозициональной функции (т. е. функции, областью значений которой служат высказывания); каждому значению (независимой) переменной “х” она ставит, в соответствие некоторое высказывание (принимает его в качестве значения), которое будет истинно, например, если х — это Сократ, и ложно (согласно мифологии), если х — это Хирон); ложно оно и если х — это неодушевленный предмет. Вот другой пример: “Джон любит Джейн” — это высказывание, которое можно рассматривать как значение одной из трех пропозициональных функций: “х любит Джейн”, “Джон любит у” или “х любит у”. Грамматически предикатом является только форма “ х любит Джейн”, но не формы “Джон любит у” и тем более “ х любит у”: с точки зрения грамматики х есть подлежащее, а у—дополнение. Для нас же эти нюансы не имеют никакого значения. Мы будем называть предикатом всякую пропозициональную функцию Р (x1,… , хn) с любым числом n>= 0 (независимых) переменных . Такая терминология коротка и удобна. Объектом, или индивидом, мы будем называть значения любой из этих переменных. Если n = 0, то предикат оказывается высказыванием (предельный случай); если n = 1, то предикат соответствует тому, что называют свойством; если n = 2, то предикат—это (бинарное) отношение; если n= 3, то это тернарное отношение и т.д.
Так объясняется название “исчисление предикатов”, которое дано логике пропозициональных функций..Более точным (но громоздким) названием было бы «исчисление пропорциональных функций».
Выражения “— любит —” и “ х любит у” сами по себе не упоотребляются в обыденном языке . Чтобы перекинуть мостик между ними и привычным, языком, можно рассматривать их как “окошечки” для подстановки слов, обозначающих объекты. Само собой, слова, подставляемые в эти окошечки, не должны непременно быть именами собственными вроде “Джон” и “Джейн”. Например, допустимо и. такое: (a1) “Кдо-то любит Джейн”, (а2) “ некто, кто любит Джейн”, (b) “Никто не любит Джейн”, (с) “Все любят Джейн”, (d) “Каждый кого-нибудь любит”, (e) “Кого-то любят все”, (f) “Всяк любит себя”, (g) “He существует никого, кто не любил бы себя”. Обозначим через L (х, у) выражение “х
любит у”; считая временно, что значения переменных “ х ” и “ у ” пробегают область человеческих индивидуумов, мы можем вести эти фразы с помощью » и $ так: (a’)$ xL(х,Джейн),(b’)Ø $ xL(х,Джейн),(c’)» хL(х, Джейн), (d’)» х$ уL(х,у), (e’)$ у» хL(х,у), (f’)» xL(х,х), (g’)Ø $ хØ L(х,х).
В исчислении высказываний мы изучали логические отношения, имеющиеся между высказываниями, не рассматривая, какие именно высказывания выражены атомами. Это значит, что с точки зрения занимавших нас там логических отношений высказывания, обозначенные через “Р”, “Q”, “R” и т. п., совершенно произвольны. Точно так же мы не станем приписывать никакой специфики тем объектам (индивидам), которые могут быть значениями наших переменных. Желая максимально упростить символику, мы в этой главе не станем предполагать никакого иного перечня имен индивидов, кроме единственного списка переменных. Таким образом, чтобы выразить (а1) “Кто-то любит Джейн” надо писать $ xL(x, у) (или же $ xL(x, j)), и мы будем считать, что “y” (или “j”) является именем индивида Джейн. Это не чрезмерная жертва, ибо в данной главе мы имеем в виду только общие логические соотношения, в которых не фигурируют личные достоинства Джейн (а если и фигурируют, то лишь постольку, поскольку они перечислены, а следовательно, логические соотношения между выражениями, в которых фигурирует “Джейн”, равным образом справедливы применительно ко всякой другой даме, обладающей тем же перечнем достоинств). Далее будут введены некоторые символы, не являющиеся переменными, которые могут служить именами отдельных индивидов.
Вернемся к обозначению предикатов. Заимствуя пример из математики, мы видим, что “x< у оказывается истинным высказыванием (или принимает в качестве значения истинное высказывание). Когда (х, у) принимает значение (7, 7) или (100, 5), х<�у становится ложным высказыванием. Если же мы скажем теперь (h) “По любому (действительному) числу х найдется такое число у, что “ x < у” (или, в наших обозначениях, (h’) » x$ у(х <�у как часть записи (h) или (h’) употребляется не для обозначения предиката, а для того, чтобы сказать нечто относительно двух чисел, из которых первое, названное “x”, произвольно (т. е. совершенно не фиксировано); второе же, названное “y”, подбирается надлежащим образом (и зависит от числа, обозначенного через “x”). Этот пример показывает, что необходимо (и легко) проводить различие между использованием записи “х < y” для обозначения предиката и для выражения того .высказывания, которое является значением этого предиката, когда “x” и “у” считаются (именами конкретных объектов). Надо усвоить, что предикат P(x, у)
является не высказыванием, а соответствием, с помощью которого возникают высказывания, когда в качестве значений “х” и “y” выбраны некоторые пары объектов.
Поэтому, коль скоро “x < у” лишь обозначает предикат, вполне достаточно рассматривать “x” и “y”