Ранее мы ввели “следование” в исчислении высказываний. Очевидным образом приспосабливая это определение к исчислению предикатов, будем говорить, что В является следствием из А1,…,Am ( m>=1) в исчислении предикатов (или в силу исчисления предикатов) (и пишем А1, …,Аm |=В) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: в таблице истинности на входах которой помещен список всех ионов и свободных переменных, входящих в А1,…,Аm, В, формула В дает t во всех тех строках, в которых А1,…, Аm одновременно дают t, и это выполняется при любой области D. Как и ранее, порядок ионов и свободных переменных в этом списке безразличен.
При этом определении “следования” теорема 8 и ее следствие обобщаются на исчисление предикатов. Доказательства по сути совпадают с ранее данными остается заметить, что это определение “следования” ) не является единственно известным в исчислении предикатов.
В этом определении мы рассматривали ионы и свободные переменные формул A1,…, Аm точно так же, как ранее мы рассматривали пропозициональные атомы. Это значит, что каждый ион рассматривался как обозначение для какого-то предиката, а каждая переменная — как обозначение для какого-то элемента из D. Этот предикат, или элемент из D, должен в течение всего рассуждения (в исчислении предикатов), касающегося A1,…, Am, В, оставаться одним и тем же, хотя и неизвестным нам; для рассуждений в исчислении предикатов их и не надо знать точно. Руководствуясь этим, мы помещаем на входе все ионы и свободные переменные из А1,…, Аm, В, когда нужно проверить, что В принимает значение t всегда, когда Al,…,Am одновременно имеют значение t. При другом определении “следования”, которое мы дадим ниже, свободные переменные или некоторые из них трактуются иначе. В частности, мы не будем требовать, чтобы те элементы из D, которые обозначены свободными переменными, оставались бы одними и теми же во всех рассуждениях, касающихся А1,…, Аm, В, а разрешим им быть различными в разных формулах или в разных вхождениях одной и той же формулы.