В этой главе мы двояким образом расширим наш предметный язык (или рассматриваемую нами его часть); можно осуществлять расширения порознь или совместно. Собственно говоря, речь идет c не о расширении языка, а об увеличении изучаемой здесь части языка.
Прежде всего (именно это делается в данном параграфе) мы добавим выражения для функций, значения которых принадлежат той же области D, что и их аргументы (т. е. значения их независимых переменных); эти функции отличаются от предикатов, ибо у последних, являющихся пропозициональными функциями, значениями являются высказывания. Такого рода функции играют важную роль в математике. Например, если D является множеством натуральных чисел {0, 1, 2, …}, то в качестве таких функций мы используем х+1, х+у, х*у и т. д. Если D -множество вещественных чисел, мы используем также х — у, sin(x) и т.д. Индивиды (элементы из D) понимаются как функции от нуля переменных (0-местные функции); ими будут, например, 0 и 1 в случае множества целых чисел, а также п и е в случае множества вещественных чисел (это аналогично рассмотрению высказываний как 0-местных предикатов).
Чтобы провести это обобщение, предположим, что в предметном языке имеются выражения для таких функций; эти выражения не анализируются глубже. Назовем их элементарными функциональными выражениями, или мезонами , и будем записывать так: “f”, “f ( ——)”, “ f (—, ——) ”, “f (—, —, —)”, . . ., “g”, “g( —)”,“g (—, — )”,“g( —, —, —)”. При вписывании индивидных переменных на место черточек получаются называющие формы функций, или элементарные функциональные выражения (мезоны) с приданными переменными. Не будем говорить об этом подробнее, ибо рассмотрение таких выражений аналогично рассмотрению предикатных элементарных выражений.
Сейчас мы опишем более широкий класс выражений, называемых “термами” и используемых для описания функций (в них входят переменные, кроме “0-местных функций”, т. е. индивидов). Термы определяются следующим образом: это индивидные переменные и добавочные термы, получаемые так: для любого n>=0, для любого n-местного мезона f(—, …, —) и для любой n-ки r1,…,rn уже построенных термов выражение f (rl,…,rn ) также является термом.
В определении “элементарной формулы” (“атома”) разрешаем r1,…,rn обозначать произвольные термы, а не одни только переменные. Ведь если бы мезоны не допускались, то данное выше определение понятия “терм” свелось бы к определению переменной.
Когда фиксирована непустая область D, то с каждым термом ассоциируется таблица со значениями в D, а с каждой формулой— ее таблица истинности. У таблицы формулы на входе должны находиться все n-местные функции, аргументы и значения которых лежат в D; эти функции являются возможными значениями для каждого n-местного мезона (при n = 0 возможными значениями будут все элементы из D).