Отчасти в связи с разнообразными аспектами проблем, вызванных открытием парадоксов , мы рассмотрим теперь повнимательнее вопрос о природе математики и применяемых в ней методов.
Аксиоматико-дедуктивный метод в математике приобрел известность благодаря «Началам» Евклида (появившимся около. 330-320 гг. до н. э.), но традиция приписывает открытие этого метода Пифагору (VI в. до н.э.). С помощью аксиоматического метода была систематизирована совокупность геометрических знаний. Евклидову аксиоматическую систему в общих словах можно охарактеризовать следующим образом. Даются «определения» некоторых первоначальных (исходных) терминов, таких, как «точка», .»прямая», «плоскость»; определения эти преследуют цель объяснить читателю значения данных- терминов. Затем в качестве аксиом (постулатов) принимаются некоторые предложения об этих первоначальных терминах; имеется в виду, что эти предложения непосредственно очевидны на основе понимания-первоначальных терминов, которое подсказывается определениями. Затем через первоначальные термины определяются новые термины, а из аксиом логически выводятся новые предложения, называемые теоремами. Аксиоматику, подобную евклидовой, где значения исходных терминов предполагаются данными с самого начала, называют материальной аксиоматикой.
Один из постулатов Евклида — пятый постулат, или » постулат о параллельных», — кажется менее очевидным, нежели остальные. Евклид использовал этот постулат для доказательства теоремы о том, что через данную точку Р, не лежащую на данной прямой L, можно провести в точности одну прямую, параллельную L ( т. е. не пересекающую ее ни в какой точке ). Начиная с времен самого Евклида было предпринято множество попыток, доказать этот постулат как теорему, выведя его из остальных постулатов евклидовой системы. Как мы знаем теперь, попытки эти были обречены на неудачу.
Дело в том, что Лобачевский в 1829 г. и Бойаи в 1833 г. построили геометрическую систему, в которой через данную точку Р, не лежащую на данной прямой L, можно провести бесконечно много прямых, параллельных L. Очевидно, что осмысление первоначальных терминов евклидовой геометрии на языке понятий физического пространства не достаточно для решения вопроса о том, какой же из постулатов о параллельных верен: постулат Евклида или постулат Лобачевского-Бойаи. Различия в получающихся при этом геометрических системах могут быть слишком малыми для того, чтобы обнаружить их посредством каких бы то ни было измерений в доступной нам части вселенной — точно так же, как в былые времена люди полагали, что Земля плоская, на основании наблюдений над доступной непосредственному обозрению частью земной поверхности.
Поэтому истинность какого-либо предложения евклидовой геометрии должна быть свойством самой этой геометрии как логической системы. Но если евклидова геометрия — это корректная логическая структура, то это же можно сказать и о георметрии Лобачевского-Бойаи. В самом деле, как показал в 1871 г; Клейн, все аксиомы планиметрии Лобачевского оказываются истинными, если входящие в них первоначальные термины переинтерпретировать таким образом, чтобы «плоскость» как внутренность некоторого круга в евклидовой плоскости, точка понималась как точка внутри этого круга, прямая кaк хорда его окружности, а расстояния и углы вычислялись согласно формулам, предложенным в 1859 г. Кэли. ( Другая евклидова модель, пригодная для интерпретации ограниченной части неевклидовой плоскости, была предложена В 1868 г. Бель-трами, который интерпретировал отрезки прямых как отрезки «геодезических» (т. е. кратчайших путей, соединяющих две точки) на некоторой «поверхности постоянной отрицательной кривизны».)
В этих моделях с аксиомами происходит нечто новое по сравнению с прежними аксиоматическими концепциями : смысл первоначальных терминов варьируется, а дедуктивная структура рассматриваемой теории остается фиксированной. Это обстоятельство знаменует возникновение формальной, аксиоматики , в рамках которой значения первоначальных терминов не предполагается определенными с самого начала, а так и остаются неопределенными при выводе теорем из аксиом. Поэтому мы вольны выбирать значениях этих первоначальных терминов любым образом, лишь бы аксиомы оставались истинными. Эту точку зрения мы и отразили, в своем определении понятий «следования» и «следствия». Особенно плодотворной она оказывается в современной алгебре для получения следствий из рассматриваемых чисто формально систем аксиом, скажем из аксиом абстрактной теории групп. Результаты, выводимые ,из аксиом теории групп, в которых множество элементов, на котором задана групповая операция умножения, и сама эта операция остаются неопределенными ( нефиксированными ), составляют теоретическую систему, пригодную для самых различных приложений.
В рамках формальной аксиоматики система аксиом может быть исследована на предмет наличия таких свойств, как независимость какой-либо аксиомы от других ( посредством попыток отыскания такой интерпретации ее первоначальных терминов, при которой данная аксиома оказывалась бы ложной, а все остальные — истинными ), категоричность ( заключающаяся в том, что элементы двух произвольных интерпретаций можно поставить в 1-1-соответствие с сохранением всех определенных для них свойств) и т. п.).
При таком подходе к аксиоматике возникает ряд вопросов. Почему мы выбираем именно эти аксиомы и почему получающаяся в результате система должна нас интересовать ? Ответ, очевидно, состоит в том, что такая система приложима к любым объектам, данным извне в качестве интерпретации первоначальных терминов. Бывает, что система аксиом допускает существенно различные интерпретации ( в этом случае она некатегорична ); типичным примером могут служить, аксиомы абстрактной теории групп. Мы не хотели бы рассматривать системы аксиом, которым не удовлетворяет никакая интерпретация; такие системы мы назовем вырожденными. Одна из проблем, встающих в формальной аксиоматике, как раз состоит в установлении того, что данная система нe является вырожденной. Впрочем, система объектов, служащая интерпретацией какой-либо системы аксиом, часто берется из какой-нибудь другой аксиоматической теории; в этом случае налицо некоторая редукция : стоявший перед нами вопрос лишь заменяется вопросом о значении этой другой аксиоматической теории. Если ни на какой стадии процесса результаты не прилагаются за пределами формальной аксиоматики, то все эти построения кажутся бесплодными. Поэтому — если не становиться на позицию математического нигилизма — мы приходим к выводу, что формально аксиоматизированная математикам — это еще не вся математика : определенное место в математике должны занимать такие понятия, как смысл, истина, ложь. Когда мы утверждаем, что такое-то предложение данной формальной аксиоматической теории является теоремой, то мы уж, во всяком случае, должны считать само наше утверждение истинным в том смысле, что предложение, о котором идет речь, вытекает из аксиом, хотя вопрос о том, истинно ли это предложение в действительности, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике формальные выводы проводятся до какого бы то ни было приписывания значений первоначальным терминам ( или безотносительно к такому приписыванию ).
В качестве примера математического высказывания, относительно которого отнюдь не предполагается, что оно является чисто формальным, но бессмысленным следствием из аксиом, рассмотрим теорему ( доказываемую в теории чисел ) о том, что для любых данных целых чисел а, b, с мы можем узнать, существуют ли, такие целые числа x и y, что ax + by + c=0, т. е. теорему о существовании общего метода, позволяющего решить вoпрoс, разрешимо ли в целых числах произвольное данное уравнение ах + bу + с = 0 (а, b, с — целые). Хотя теория чисел ( арифметика чисел ) может быть построена аксиоматически, доказательство этой теоремы следует понимать в том смысле, что для любых конкретных а, b, с мы можем узнать, разрешимо ли данное уравнение. Ученик, научившийся лишь доказывать, исходя из аксиом, теорему о том, что всегда можно узнать, существует ли искомое решение, но не научившийся фактически узнавать это вряд ли усвоил то, — чему хотел его научить учитель. В то же время если имелся в виду лишь вывод этой теоремы в формальной аксиоматике, то такой ученик сделает все, что от него требуется.
В качестве одного из наиболее скромных методов разрешения ситуации, сложившейся в связи с парадоксами, описали некоторую систему аксиоматической теории множеств. В этом контексте аксиоматика должна пониматься в формальном смысле, если только мы не станем пытаться каким-либо образом сохранить как раз ту интуитивную концепцию множества, которая должна была быть „заменена именно этой системой аксиом. Однако рассмотрения настоящего параграфа показывают, что прибежище, предоставляемое формальной аксиоматикой, хотя и может обеспечить значительные удобства, оставляет открытыми такие проблемы, как выбор аксиом и приложимость их к описанию каких-либо систем объектов, кроме таких, существование которых постулировано какой-нибудь другой аксиоматической теорией.
За решение такого рода проблем взялся Гильберт. Он исходил из того, что классическая математика ( т. е. обычная математика, использующая классическую логику ) содержит много такого, что выходит за рамки непосредственно осмысливаемого и обосновываемого на интуитивной основе. И действительно, математикам пришлось осознать это, когда в теории множеств они зашли слишком далеко и натолкнулись на парадоксы. Гильберт предложил программу спасения классической математики, ставящую своей целью избавление ее (математики) от парадоксов. Программа эта в общих чертах описывается следующим образом. Классическая математика должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т. е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие.
До этого предложения (оно было впервые высказано в 1904 г., но Гильберт и его сотрудники по-настоящему занялись им лишь к 1920 г.) доказательства непротиворечивости формальных аксиоматических теорий проводились с помощью построения моделей (интерпретаций), в которых все аксиомы данной теории оказывались истинными, когда входящие в них первоначальные термины интерпретировались посредством некоторой другой теории. Выше мы приводили один пример такого рода, который показывает, что неевклидова планиметрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива планиметрия Евклида. В каждом таком случае доказательство непротиворечивости с помощью модели показывает лишь, что данная теория непротиворечива, если непротиворечива некоторая другая теория. Аналитическая геометрия Декарта (1619 г.) легко сводит вопрос о непротиворечивости геометрии к вопросу о непротиворечивости теории действительных чисел, т, е. к вопросу о непротиворечивости анализа. Но как установить непротиворечивость анализа? Разумеется, не при помощи геометрической модели: это привело бы к порочному кругу. Согласно Гильберту и Бернайсу ?, для этой цели нельзя обратиться и к физическому миру. Дело в том, что ограниченная точность физических измерений не позволяет нам заявить, что континуум действительно дан нам в опыте; правильнее будет сказать, что континуум — это идея, полученная путем экстраполяции ( или идеализации ) того, что действительно является данными опыта).
В силу сказанного предложение Гильберта доказать непротиворечивость классической математики, построенной в виде формальной системы, непременно предполагало использование некоторого нового метода взамен метода построения модели. Этот метод состоит в непосредственном использовании идеи непротиворечивости, сводящейся к отсутствию противоречия ( парадокса ) т. е. двух теорем, являющихся отрицаниями друг друга. Чтобы показать, что такой ситуации возникнуть не может, Гильберт предложил сделать доказательства в аксиоматической теории предметом специальной математической дисциплины, названной им метаматематикой, или теорией доказательств. Конечно, убедительность такого доказательства непротиворечивости должна зависеть от используемых в метаматематике методов. По этой причине Гильберт решил использовать в метаматематике лишь интуитивно убедительные методы, которые он называл «финитными». В особенности такие методы должны избегать использования «актуальной» («завершенной») бесконечности. Новый подход Гильберта позволяет избежать использования актуальной бесконечности и в самой формулировке проблемы доказательства непротиворечивости. Дело в том, что в любой данной теории имеется лишь счетно-бесконечное множество доказательств, а в утверждении о ее непротиворечивости говорится лишь о произвольной паре доказательств, а не обо всем множестве доказательств как о завершенном объекте. Предполагаемые объекты рассмотрения самой теории могут быть значительно менее элементарными. Таким образом, казалось правдоподобным, что проблема непротиворечивости, сформулированная в финитных терминах, может быть и решена финитными методами.