Опишем теперь одну конкретную формальную систему N, предназначенную для формализации элементарной теории чисел (арифметики натуральных чисел). Мы начнем наше — описание с введения формальных символов, играющих роль букв алфавита нашего формального, языка (хотя большая их часть интерпретируется целыми словами обычного русского языка). Вот эти символы:
~ ,É ,& ,V,Ø ,» ,$ ,=,+,*,’,0,a,b,c,…,| ,(,).
Запятые в этой строке, многоточие и точка в конце не относятся к числу формальных символов: это обычные знаки пунктуации, используемые нами для разделения формальных символов при печати символы “a,b,c — это “переменные”; нам нужно, чтобы совокупность была (потенциально) счетно-бесконечной.Но поскольку в латинском алфавите всего 26 букв, мы будем для определенности полагать, что переменные — это любая из этих 26, а также любая из них, снабженная справа одним или несколькими вхождениями символа. Таким образом, переменные, отличные от 26 строчных букв латинского алфавита,— не одиночные формальные символы, а некоторые конечные последовательности формальных символов. Всего в алфавит нашей формальной системы N входит, следовательно, в точности 41 формальный символ.
Конечные последовательности (вхождений формальных символов мы будем называть формальными выражениями. Так же роль формальных символов в символическом языке аналогична роли букв в обычном языке, роль формальных выражений в символическом языке со структурной точки зрения аналогична роли слов обычного языка, хотя при интерпретации многие из них могут представлять целые фразы. Большинство формальных выражений не будут представлять для нас никакого интереса. Но сейчас мы определим два конкретных класса действительно важных формальных выражений “термы”, интерпретируемые как именна существительные из естественного языка, и “формулы”, интерпретируемые как повествовательные предложения. Каждое из этих определений состоит из нескольких пунктов.
Определение “терма”.
1. 0 есть терм.
2. Переменные a, b, c, … суть термы.
< вместо термов подстановки результате выражением формальным становящееся метаязыка, выражение а выражение, альное>“r” и “s”.
Определение “формулы”.
1. Если г и s — термы, то (r) = (s) — формула.
2 — 6. Если А и В — формулы, то (А)~(В), (А)Э(В), (А) & (В), (А) V (В) и Ø (А)— формулы.
7 — 8. Если А — формула, а х — переменная, то » х(А) и $ х(А)— формулы.
9. Никаких формул, кроме определенных согласно 1 — 8, нет.
Так же как “r” и “s” в определении терма, здесь “А” и “В” суть метаматематические переменные, представляющие (заменяющие) произвольные формулы, а “х” -метаматематическая переменная, представляющая произвольную формальную переменную. Например, выражение “» x (А)” становится формулой после замены “х” произвольной -переменной, скажем а, а “А” — произвольной формулой, например (а) = (b), в результате чего мы получаем формулу » a ((a) = (b)). Если мы вместо а возьмем какую-нибудь другую переменную, например b, то получим другую формулу: » b((а).==(b)). Сказанное объясняет, зачем в п. 7 нашего определения формулы понадобилось пользоваться метаматематической переменной “х”: если бы вместо нее там стояла, скажем, переменная а, то мы бы могли получить описанным здесь образом лишь формулу » а((а)=(b)) (но не » b((а)=(b)), » c((a)=(b)).