Класс функций F называется полным, если его замыкание совпадает с Pn:
.
Другими словами, множество функций F образует полную систему, если любая функция реализуема в виде формулы над F.
Теорема.
Пусть заданы две системы функций и .
Тогда, если система F – полная и все функции из F реализуемы формулами над G, то система G тоже полная.
Доказательство. Пусть h – произвольная функция, . Тогда =Pn, следовательно, h реализуема формулой , базисом которой является F (). Если выполнить замену подформулы fi на подформулу в формуле , то мы получим формулу над G.
Следовательно, функция h реализуется формулой .
Примеры:
1. Система {} – полная, т. к. любая логическая операция может быть выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание;
2. Система {} – полная, т. к.
3. Система {} – полная, т. к.
4. Система {|} – полная, т. к. , а {}и{} – полные системы.
5. Система {} – полная, т. к. Представление логической операции системой{}называется полиномом Жегалкина. Таким образом, всякая логическая операция представима в виде
где — сложение по модулю 2, знак · обозначает конъюнкцию, .
Теорема Поста: Система логических операций полна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, одну функцию, не сохраняющую 1, хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну нелинейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.
Пример.
Докажем полноту системы {Å,Ú,1}.
|
f |
T0 |
T1 |
T* |
TL |
TM |
В каждом столбце должен быть хотя бы один «-» |
|
xÅy |
+ |
— |
— |
+ |
— |
|
|
xÚy |
+ |
+ |
— |
— |
+ |
|
|
1 |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
1.
Проверка на принадлежность классу T0.
2.
Проверка на принадлежность классу T1.
3.
Проверка на принадлежность классу T*.
4.
Проверка на принадлежность классу TL.
5.
Проверка на принадлежность классу TM.
f(0,0)=0
f(0,1)=1
f(1,0)=1
f(1,1)=0
f(0,0)=0
f(0,1)=1
f(1,0)=1
f(1,1)=1