- Закон тождества. «Всякое высказывание является логическим следованием себя самого»
x->x
Доказательство сводится к построению таблиц истинности
x |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
- Закон противоречия. «Для всякого высказывания неверно, что истинно и высказывание х и его отрицание.
Доказательство сводится к построению таблиц истинности
x |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
- Закон исключенного третьего. «Для каждого высказывания х истинно или само высказывание, или его отрицание»
Доказательство сводится к построению таблиц истинности
x |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
- Закон двойного отрицания. Отрицание от любого высказывания равносильно самому высказыванию.
- Добавление антцедента (истина из чего угодно). Если х – истина, то для любого у истинно, что y->x.
- Из ложного что угодно.
- Modus ponens. Если x->y – истинно и x – истинно, то согласно закону mp можно заключить, что истинно у.
Этот тип заключения очень часто используется при математических доказательствах.
Пример.
1. Все простые числа, большие 2 – нечетны.
2. 7 – простое число.
3. Следовательно, 7- нечетное число.
Здесь применяются 2 закона. Первый закон – закон заключения от общего к частному будет рассмотрен в логике предикатов.
На основании этого закона преобразуется первая посылка заключения: Для всех х, если х – простое число большее 2, то х – нечетно. Согласно заключению от общего к частному высказывание если 7 – простое число большее 2, то 7 – нечетно – истинно. (А)
7 – нечетно (В)
A->B – Истинно
А – истинно
Применяем mp, следовательно, высказывание 7-нечетно – истинно.
- Modus tollens
Или
Этот закон применяется при доказательствах от противного. Он является двойственным к mp.
- Закон силлогизма
Этот закон позволяет строить сколь угодно длинные цепочки рассуждений.