Рассмотрим предложения, зависящие от параметров:
Х – четное число.
X
X+Y=Z
X,Y – братья.
Если заменить переменные X, Y, Z некоторыми конкретными значениями, то мы получим определенные высказывания, которые могут быть истинными или ложными.
Например:
3 – четное число.
2
2+3=5
Иван и Павел – братья.
Предложения такого рода называются предикатами.
Предикат Р(х1,…,хn) – функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества M, а сама функция принимает значение истина (1) или ложь (0).
Р(х1,…,хn) : Mn®{0,1}
Высказывания — это 0-местные предикаты. Над предикатами выполняются логические операции, в результате чего получаются новые предикаты.
С каждым предикатом связано число, которое называется местностью или арностью предиката (количество переменных).
Язык предикатов – наиболее приближенный к естественным языкам формальный математический язык.
Примеры:
1. Р(х) – х делится на 2
Q(x) – x делится на 3
P(x)&Q(x) – x делится на 2 и 3, т. е. определен предикат делимости на 6.
2. S(x,y) – x равно y.
S(x,y)& S(y,z)®S(x,z)
Кроме операций логики высказываний, к предикатам можно применять операции связывания кванторами.
1. Квантор общности ().
— высказывание истинное для каждого , т. е. это высказывание не зависит от xi.
2. Квантор существования ().
— высказывание истинно, если существует, для которого это высказывание истинно.
Для конечных множеств операции навешивания кванторов можно выразить через операции & и .
Пусть
На языке предикатов можно составить более сложные высказывания, чем на языке логики высказываний.