Логика - доступно для всех

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта

Нормальные алгорифмы Маркова

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Алгоритмическая система Маркова строится по тем же принципам, что и МТ, но носит более простой и интуитивно понятный характер.

Нормальные алгорифмы Маркова (НАМ)  представляются нормальной схемой подстановок, которая состоит из совокупности подстановок, расположенных в определенном порядке.

Пусть Х – некоторый конечный алфавит, F(X) – слова алфавита,  - пустое слово. Если , то выражения  и  называются формулами подстановки в алфавите Х:

 - простая подстановка;

 - окончательная подстановка.

Символы → и . не принадлежат Х.

Слова p и q могут быть пустыми.

Строка R входит в строку L, если L имеет вид L1RL2. Подстановка применима к слову, если строка соответствующая левой части подстановки входит в слово. Применение заключается в замене в преобразующем слове левой строки – правой:

Механизм работы НАМ:

Дано преобразуемое слово – цепочка символов фиксированного алфавита и нормальная схема подстановок, содержащая фиксированную последовательность простых и заключительных подстановок.

1) Слово всегда просматривается слева направо. Схема подстановок просматривается, начиная с первой подстановки, и, если подстановку можно применить, то она применяется к самому левому вхождению этой строки в преобразуемое слово.

2) Работа алгоритма заканчивается если:

  • ни одна из подстановок не применима,
  • использована заключительная подстановка.

Может возникнуть ситуация, когда процесс не закончится никогда. В этом случае считают, что алгоритм не применим к слову.

Пример.

Х={x,y,z};

Нормальная схема подстановок:

 xx ® y 

 xy ® x 

 yzy ® x

 zz ®. z

 yy ® x

Преобразуемое слово:

xxxyyyzzz →yxyyyzzz→yxyyzzz →yxyzzz→yxzzz→yxzz

Пример.

X={А,Б,В,Г,…,Я};

Нормальная схема подстановок:

Х®К

М®Р

КА®ЛОН

РУ®.С

Преобразуемое слово:

МУХА®МУКА®РУКА®РУЛОН®СЛОН

Пример 9:

X={a,b};

Нормальная схема подстановок:

a→.e

b→b

Преобразуемое слово:

bbbbbb  - схема не применима.

Преобразуемое слово:

abab →bab

Пример.

Х={х,у,х-1,у-1};

Нормальная схема подстановок:

х х-1→е

х-1х→е

у у-1→е

у-1у→е

Преобразуемое слово:

ххухуу-1х-1ух→ ххухх-1ух→ ххуух

Пример 10:

Х={x1, …,xn};

Нормальная схема подстановок:

x1→e

x2→e

xn→e

Преобразуемое слово переписывается в пустое.

Пусть R и Q нормальные алгорифмы над алфавитом Х и pÎF(x). Запись  означает, что или оба алгорифма R и Q не применимы к слову p, или оба применимы и .

Два алгорифма R и Q называют эквивалентными относительно алфавита Х, если  каждый раз, когда pÎF(x) и хотя бы одно из слов R(p) или Q(p) определено и тоже принадлежит F(x).

Если для всех pÎF(x) , то R и Q называются полностью эквивалентными.

Пусть X={1}, а . Тогда всякое натуральное число n можно записать в виде слова в алфавите :

Поставим в соответствие вектору (n1, n2, …nk), где n1, n2, …nk – натуральные числа, слово в алфавите  вида , которое обозначим . Например, вектору  соответствует слово 11111*1*111.

Пусть f: Nk→N – некоторая частичная функция и Rf обозначает алгорифм в алфавите  такой, что

 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из частей равенства определена. При этом считается, что алгорифм Rf не применим к словам отличным от вида .

Функция f называется частично определимой по Маркову, если существует нормальный алгорифм Q над  полностью эквивалентный Rf над . Если функция определена полностью, то ее называют просто вычислимой по Маркову.

Теорема: Простейшие функции O(x)=0, S(x)=x+1 и Im(x1,x2,…,xn)=xm вычислимы по Маркову.

Доказательство сводится к построению соответствующих алгорифмов.

1.Функцию O(x)=0 реализует следующий алгорифм R0:

 ={1,*}, ;

Нормальная схема подстановок:

*→*                                     (1)

α11→ α1                              (2)

α1→.1                                  (3)

е→ α                                    (4)

Преобразуемое слово:

р=111…11.

Тогда по формуле (4) получаем р= α 11…11.

Применим формулу (2) и получим:  р= α 11…11→ α 1…11→ α 1.

Применяем формулу (3) и получаем α 1→1.

Так как 1 – это  в алфавите Х, то R0 и является искомым алгоритмом.

2. Функцию S(x)=x+1 реализует следующий алгорифм Rs:

={1,*}, ;

Нормальная схема подстановок:

*→*                                     (1)

α1→.11                                (2)

е→ α                                    (3)

Преобразуемое слово:

р=111…11.

Тогда по формуле (3) получаем р= α 11…11 (n единиц).

Применим формулу (2) и получим:  р= 111…11 (n+1 единица). Так как  всякое натуральное число n можно записать в виде слова в алфавите :

, то мы реализовали алгоритм RS(n)=n+1.

Этот алгоритм применим только к тем словам, которые являются натуральными числами.

3. Алгорифм RI имеет более сложную структуру, с ним можно ознакомиться самостоятельно в учебнике «Лекции по дискретной математике», авторы: Капитонова Ю.В. и др.

Теорема: Всякая частично рекурсивная функция частично рекурсивна по Маркову.

Обратная теорема: всякая частично вычислимая по Маркову функция является частично рекурсивной.  

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.