Будем рассматривать только числовые функции, т. е. функции, аргументы и значения которых принадлежат множеству натуральных чисел N (N=0,1,2,…).
Если область определения функции совпадает с множеством , то функция называется всюду определенной, иначе – частично определенной.
Пример:
f(x,y)=x+y – всюду определенная функция,
f(x,y)=x-y – частично определенная функция, т. к. она определена только для .
Рекурсивное определение функции – это такое определение, при котором значение функции для данных аргументов определяется значениями той же функции для более простых аргументов или значениями более простых функций.
Примеры:
1. Числа Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) это последовательность чисел f(n), где f(0)=1, f(1)=1, f(n+2)=f(n)+f(n+1).
2. Факториал (n!=1*2*3*…*n) f(0)=1, f(n+1)=f(n)*(n+1).
Рекурсивные функции строятся на основе трех примитивных (заведомо однозначно понимаемых и реализуемых) функций. Их также называют простейшими.
1. S(x)=x+1 – функция следования.
Примеры: S(0)=1, S(1)=2, S(-5) – не определена.
2. О(х)=0 – нуль-функция;
Примеры: О(0)=0, О(1)=0, О(-5) – не определена.
3. Im(x1,x2,…,xn)=xm, (m=1,2,…n) – функция проектирования (выбора аргумента).
Пример: I2(1,2,3,4,…n)=2.
С примитивными функциями можно производить различные манипуляции, используя три оператора: суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
1. Оператор суперпозиции (подстановки).
Пусть f – m-местная функция, g1,…gm – n-местные операции на множестве N. Оператор суперпозиции S ставит в соответствие операциям f и g1,…gm n-местную функцию h.
Примеры:
1) Используя оператор суперпозиции, можно получить любую константу.
S(O(x))=0+1=1
S(S(O(x)))=0+1+1=0+2=2
S(S…(O(x))…)=0+n, где число вложений функций следования n.
2) Используя оператор суперпозиции, можно выполнить сдвиг на константу n.
S(x)=x+1
S(S(x))=x+1+1=x+2
S(S…(S(x))…)=x+n.
2. Оператор примитивной рекурсии
Оператор R каждой (n+2)-местной операции f и n-местной операции g ставит в соответствие (n+1)-местную операцию h=R(f,g), удовлетворяющую следующей схеме:
Для n=0 схема примитивной рекурсии имеет вид:
, где а – константа,
Пример: Вычисление факториала с использованием оператора примитивной рекурсии будет выглядеть следующим образом.
Схема примитивной рекурсии образует процесс построения функции h, при котором на нулевом шаге используется функция g, а на каждом последующем шаге значение функции f от аргументов , номера y предыдущего шага и значения функции h, вычисленного на предыдущем шаге.
Функция называется примитивно-рекурсивной (ПРФ), если она может быть получена из простейших функций с помощью оператора суперпозиции или оператора примитивной рекурсии.
Примеры:
1) — примитивно-рекурсивная функция.
Схема примитивной рекурсии:
2) — примитивно-рекурсивная функция.
3. Оператор минимизации (-оператор)
, где y – выделенная переменная.
Работу -оператора можно описать следующим образом. Выделяется переменная y, затем фиксируются остальные переменные . Значение у последовательно увеличивается, начиная с 0. Значением -оператора будет то значение у, при котором функция впервые обратилась в 0.
Если функция не обратилась в 0 или принимает отрицательное значение, то значение -оператора считается неопределенным.
Пример: g(x,y)=x-y+3;
Зафиксируем х=1 и будем менять y.
, т. к. 1-1+3=3
, т. к. 1-2+3=2
, т. к. 1-3+3=1
, т. к. 1-1+3=0
Следовательно, .
Функция f(x1,x2,…,xn) называется частично рекурсивной (ЧРФ), если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операций суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
Пример.
f(x,y)=x-y — частична, т. к. она не определена, если x
Свойства усеченной разности.
1)
2)
3)
- Докажем, что — примитивно-рекурсивная функция.
Функция примитивно рекурсивна, т. к. по схеме примитивной рекурсии:
1) При х=0 .
2)
Т. о. ее можно получить из простейших функций О(х) и Im(x1,…xn) с помощью оператора простейшей рекурсии R.
- Докажем, что — примитивно-рекурсивная функция.
По схеме примитивной рекурсии
1)
2)
Т. о. функцию можно получить с помощью операции примитивной рекурсии из функций и h(x,y,z)= .
- Функция также является примитивно-рекурсивной
- — примитивно-рекурсивная функция.
- Функцию f(x,y)=x-y можно получить с помощью оператора минимизации:
.
Следовательно, функция f(x,y)=x-y является частично-рекурсивной функцией.
Всюду определенная частично-рекурсивная функция является общерекурсивной (ОРФ).
Для алгоритмических проблем типичной является ситуация, когда требуется найти алгоритм для вычисления числовой функции f(x1,…xn). Числовые функции, значения которых можно вычислить с помощью некоторого алгоритма, называются вычислимыми функциями. Это понятие интуитивно, т. к. интуитивно понятие алгоритма.
Функция f(x1,…xn) эффективно вычислима, если существует алгоритм, с помощью которого можно найти f(k1,…kn), если известны k1,…kn.
Тезис Черча. Всякая эффективно вычислимая функция является частично-рекурсивной функцией.
В формулировку тезиса Черча входит понятие эффективной вычислимости. Поэтому его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в математическом смысле.
Частичная рекурсивность – это уточнение понятия вычислимой функции. С его помощью можно уточнять или опровергать вычислимость.
Любая частично-рекурсивная функция является вычислимой по Тьюрингу и наоборот.