Задачу алгоритмической разрешимости можно сформулировать следующим образом: задача алгоритмически разрешима, если для нее можно построить рекурсивную функцию (машину Тьюринга, λ – нотацию, алгорифм Маркова).
Машина Тьюринга (МТ) – это математическая модель идеализированного вычисляемого устройства. Для построения МТ надо задать:
1. Конечный алфавит , где — пустой символ.
2. Конечное множество внутренних состояний .
МТ представляет собой
- Бесконечную ленту, разделенную на ячейки. В каждый момент времени в ячейке записана буква . В процессе работы в ячейку может быть записан другой символ
- По ячейкам передвигается управляющее устройство (УУ). В каждый момент времени оно находится напротив какой-то ячейки и имеет некоторое состояние .
Машина действует дискретно, т. е. в определенные моменты времени.
Если в какой-то момент времени УУ воспринимает ячейку, содержащую символ и МТ находится в состоянии , то МТ может совершить следующие действия:
1. Стереть символ и записать на его место символ .
2. Переместиться в ячейку слева (Л).
3. Переместиться в ячейку справа (П).
4. Остаться на месте (С).
Эти действия называются программой.
Таким образом, М=.
Программу МТ можно представить в виде последовательности команд вида: ,
где D={Л, П, С}. (Л- переход влево, П – переход вправо, С – остаться на месте).
Программу также можно представить в виде таблицы:
|
q1 |
q2 |
…. |
qn |
|
|
a1 |
||||
|
a2 |
||||
|
…. |
||||
|
am |
Пример. МТ добавляет к слову единицу.
|
1 |
1 |
1 |
Программа:
(Если в воспринимаемой ячейке символ , и МТ находится в состоянии q1, то состояние не меняется, символ не меняется, УУ сдвигается вправо).
(Если в воспринимаемой ячейке символ 1, и МТ находится в состоянии q1, то это значит, что УУ находится на начале слова, состояние меняется на q2, символ не меняется, УУ сдвигается вправо).
( Если в воспринимаемой ячейке символ 1, и МТ находится в состоянии q2, то это значит, что УУ передвигается по слову, состояние не меняется, символ не меняется, УУ сдвигается вправо).
( Если в воспринимаемой ячейке символ , и МТ находится в состоянии q2, то это значит, что УУ дошло до конца слова, состояние меняется на заключительное, символ меняется на 1, УУ останавливается).
В виде таблицы эту программу можно записать следующим образом:
|
q1 |
q2 |
|
|
1 |
Конфигурация МТ (машинное слово) – это слово вида , где
p1 – слово в алфавите МТ (может быть пустое),
qs – внутреннее состояние М,
ai – воспринимаемый символ,
p2 – слово в алфавите МТ.
МТ переводит конфигурацию в конфигурацию ( ), если имеет вид , имеет вид , — одна из команд МТ.
Для рассмотренного выше примера:
1. Команда переводит МТ из конфигурации в конфигурацию
2. Команда переводит МТ из конфигурации в конфигурацию
и т. д.
МТ останавливается при конфигурации , если не существует такой конфигурации , что (т. е. входит в , а среди команд МТ нет такой, которая бы начиналась с ).
Тезис Тьюринга: Любой интуитивный алгоритм может быть реализован с помощью некоторой машины Тьюринга.