Логика - доступно для всех

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта

Исчисление высказываний. Основные понятия и определения.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

 

      Классическое определение исчисления высказываний.

      1. Алфавит:    ¬ и → - связки (логический базис Фреге)

                             (,) - служебные символы.

                             a, b, ..., a1, b1,... - пропозициональные переменные.

      2. Формулы:   1)переменные суть формулы.

                             2)если А,В - формулы, то (¬А) и (А→В) - формулы.

      3. Аксиомы:   А1:(A→B(B→A))

                             A2:((A→B→C))→((A→B)→(A→C))

                             A3:((¬B→¬A)→((¬B→A)→B).

      4. Правило:    (A, A→B)/B - Modus ponens

      Здесь А и В - любые формулы. Таким образом, множество формул бесконечно, хотя задано трёмя схемами аксиом. Множество правил вывода бесконечно, хотя оно задано только одной схемой.

      Другие связки вводятся определениями A&B:= ¬(A→¬B);A٧B:= ¬A→B.

 

Простейшим разделом математической логики является исчисление высказываний. Элементарные высказывания рассматриваются в ней как нерасчленяемые "атомы", а составные высказывания - как молекулы, образованные из "атомов" применением логических операций.

Пусть X, Y и Z - переменные, вместо которых можно подставлять любые элементарные высказывания (или их значения истинности). Такие переменные могут быть названы высказывательными (или булевыми). С помощью высказывательных переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить формулой, выражающей его логическую структуру. Например, "Если число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10 (X Ù У) Þ 2”.

Понятие ПФ вводится индуктивно:

1. Символы логических констант 0, 1 являются ПФ.

2. Каждая логическая переменная является ПФ.

3. Если А и В суть ПФ то  , А Ù В, А Ú В, А Þ В, А Û В также ПФ.

4. Никаких других ПФ в логике высказываний нет.

Определение закончено. В нем 1 и 2 являются базисными пунктами, где указываются объекты множества, 3 - индуктивный пункт, где даны правила получения из базисных объектов новых объектов, которые будут именоваться этим же термином, 4 - косвенный пункт, где указано, что заданный список исчерпывается.

Процедура формализации высказывания состоит из этапов:

1. Если высказывание простое, то ему ставится в соответствие элементарная формула.

2. Если высказывание составное, то нужно:

а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие составное высказывание;

б) заменить их соответствующими символами;

в) расставить скобки в соответствии с символами.

Элементами логических рассуждений являются утверждения, которые либо истинны, либо ложны, но не то и другое вместе. Такие утверждения называются (простыми) высказываниями. Простые высказывания считаются пропозициональными переменными, принимающими истинностные значения «И» и «Л». Из простых высказываний с помощью логических связок могут быть построены составные

высказывания. Обычно рассматривают следующие логические связки:

Название                      Прочтение                 Обозначение

Отрицание                   не                               Ø

Конъюнкция                и                                 &

Дизъюнкция                или                             Ú

Импликация                 если ... то                   ®

Формулы.

Правильно построенные составные высказывания называются (пропозициональными) формулами. Формулы имеют следующий синтаксис:

            <формула>::=И | Л |

                                   <пропозициональная переменная>|

                                   (Ø<формула>) |

                                   (<формула> & <формула>) |

                                   (<формула> Ú <формула>) |

                                   (<формула> ® <формула>)

Для упрощения записи вводится старшинство связок (Ø,&, Ú, ®) и лишние связки не допускаются.

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

 

 

Случайная новость