Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

1) если посылки F1 и F2  имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

                            F1 ; F2                                                                                         

(F1&F2)                                                                                    .

Эта запись при истинности посылок F1 и F2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5;

2)           если (F1&F2) имеет значение “и”, то истинными являются подформулы F1 и F2, т.е.          (F1&F2)                         (F1&F2)      

F               и                  F2.

Эта запись при истинности (F1&F2) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F1 и F2; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

 

3)           если  F1 имеет значение “и”, а (F1&F2) – “л”, то ложной является подформулы F2, т.е.

F1;ù(F1&F2)

ùF2.

Эта запись при ложности (F1&F2) и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

 4) если истинна хотя бы одна посылка F1 или F2, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

                 F1                                  F2     

                 (F1ÚF2)       или           (F1ÚF2).

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы F1 или F2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

5) если (F1ÚF2) имеет значение “и” и одна из подформул F1 или F2 имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы F2 или F1, т.е.

            (F1ÚF2); ùF1                           (F1ÚF2);ùF2       

                 F2                        или             F1.

Эта запись при истинности (F1ÚF2) предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F1 или F2;

6) если подформула F2 имеет значение “и”, то истинной является формула (F1®F2) при любом значении подформулы F1, т.е

            F2

             (F1®F2).

Эта запись при истинном значении F2 предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F1 (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

7) если подформула F1 имеет значение “л”, то истинной является формула (F1®F2) при любом значении подформулы F2, т.е

                ùF1

                 (F1®F2).

Эта запись при ложном значении F1 предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы F2 (“ из ложного что угодно”);

8) если формула (F1®F2) имеет значение “и”, то истинной является формула (ùF2®ùF1), т.е

(F1®F2)

      (ùF2®ùF1).

Эта запись при истинном значении (F1®F2) определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это- закон контрапозиции;

9) если формула (F1®F2) имеет значение “и”, то истинной является формула  ((F1ÚF3)®(F2ÚF3)) при любом значении F3, т.е

                                  (F1®F2)

((F1ÚF3)®(F2ÚF3)).          

Эта запись при истинном значении (F1®F2) определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы F3 над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме  А11.

10) если формула (F1®F2) имеет значение “и”, то истинной является формула  ((F1&F3)®(F2&F3)) при любом значении F3, т.е

                                  (F1®F2)

((F1&F3)®(F2&F3)).                  

Эта запись при истинном значении (F1®F2) определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы F3 над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

11) если формулы (F1®F2) и (F2®F3) имеют значение “и”, то истинной является формула (F1®F3), т.е

                   (F1®F2); (F2®F3)

                          (F1®F3).

Эта запись при истинном значении (F1®F2) и (F2®F3) предусматривает возможность формирования импликации (F1®F3) (закон силлогизма);

это правило тождественно аксиоме А2;

 12) если формулы F1 и (F1®F2) имеют значение “и”, то истинной является формула F2, т.е

                 F1; (F1®F2)

                          F2.

Эта запись при истинном значении посылки F1 и импликации (F1®F2) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения F2;

13) если формулы ùF2 и (F1®F2) имеют значение “и”, то истинной является формула ùF1, т.е

                 ùF2; (F1®F2)

                          ùF1.

Эта запись при истинном значении посылки ùF2 и импликации (F1®F2) позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения ùF1;

14) если формулы (F1®F2) и (F2®F1) имеют значение “и”, то истинной является формула (F1«F2), т.е                          

                 ( F1®F2); (F2®F1)

                          (F1«F2).

Эта запись при истинном значении (F1®F2) и (F2®F1) позволяет ввести  логическую связку эквиваленции и определить значение формулы (F1«F2);

15) если формула (F1«F2) имеет значение “и”, то истинными являются формулы (F1®F2) и (F2®F1), т.е

                 (F1«F2)                 (F1«F2)

                 (F1®F2)      и         (F2®F1).

Эта запись при истинном значении (F1«F2) позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул (F1®F2) и (F2®F1).