Напишем:


✔ Реферат от 200 руб.
✔ Контрольную от 200 руб.
✔ Курсовую от 500 руб.
✔ Решим задачу от 20 руб.
✔ Дипломную работу от 3000 руб.
✔ Другие виды работ по договоренности.

Узнать стоимость!

Не интересно!

 

Логика - доступно для всех

  • Увеличить размер шрифта
  • Размер шрифта по умолчанию
  • Уменьшить размер шрифта

Логические операции

Логическая связка указывает на необходимость исполнения логической операции над пропозициональными переменными или формулами, окружающими логическую связку.

Логические операции бывают унарные (или одноместные) и бинарные (или двухместные). Этому отвечает наличие одного или двух операндов у данной операции.

Значение формулы полностью определяется значениями входящих в нее пропозициональных переменных.

Значения логических операций также принадлежат множеству {и; л}.

Все значения логической формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть полностью описаны с помощью таблицы истинности.

Отрицание (ù F)  есть одноместная операция, посредством кото­рой ее значение есть отрицание значения операнда. В программировании для этого используют оператор NOT:

NOT F истинно тогда и только тогда, когда F ложно.

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности, связывающей значения истинности операнда и операции.

 
F

ùF

и

л

л

и

 

На естественном языке эта операция определяет высказывание “неверно, что F истинно (ложно)”.

Если F есть высказывание, то ùF также высказывание. Если ùF есть высказывание, то ù(ùF) также есть высказывание.

 

 Пример:  Пусть есть высказывание “А:=“4 - простое число”.

Такое высказывание ложно или “неверно, что 4 –простое число”, т.е.

ù А = и ;

 Пусть высказывание D:=“Киев - столица Узбекистана”.

Такое высказывание ложно или “неверно, что Киев – столица Узбекистана”, т.е. ù D = и.

Конъюнкция (F1&F2) есть двухместная операция, посредст­вом которой из двух формул  F1 и F2 получают новую формулу F = F1&F2, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда истинны значения двух операндов F1 и F2.

В про­граммировании для этого используют оператор AND:

F1 AND F2 истинно тогда и только тогда, когда истинны  F1 и F2.

 

Таблица истинности операции конъюнкции, описывающая значения истинности операндов и операции имеет следующий вид:

 
F1

F2

F1&F2

л

л

л

л

и

л

и

л

л

и

и

и

 

Из определения операций коньюнкции и отрицания очевидно, что (F&ùF)=л.

 Если даны формулы F1, F2,…Fn, то истинное значение формулы

F= F1&F2&…&Fn  определяется истинностью всех формул F1, F2,…Fn.

На естественном языке эта операция выражается соединительными словами:

“..и..“, “..также..“, “как ..,так..“, “..несмотря на ..“ и т.п.

Пример: Пусть даны высказывания A:="компьютер содержит основной микропроцессор", B:="компьютер содержит оперативную память", C:=”компьютер содержит контроллеры"; D:="компьютер содержит порты ввода - вывода".

 Тогда формула F = (A&B&C&D) отражает высказывание "компью­тер содержит основной микропроцессор, оперативную память, контроллеры и порты ввода-вывода" [8].

Дизъюнкция (F1ÚF2) есть двухместная операция, посред­ством которой из двух формул  F1 и F2 получают новую формулу F= F1ÚF2, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда ложны значения двух операндов F1 или F2.

В программировании для этого используют оператор OR:

F1 OR F2  ложно тогда и только тогда, когда ложны F1 и F2.

F1

F2

F1Ú F2

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности.

 
л

л

л

л

и

и

и

л

и

и

и

и

 

Из определения операций дизьюнкции и отрицания очевидно, что (FÚùF)=и.

Если даны формулы F1, F2,…Fn, то истинностное значение формулы

      F= F1ÚF2Ú…ÚFn определяется истинностью хотя бы одной формулы F1, F2,…или Fn.

В естественном языке эта операция выражается разъединительными словами “..или..“, “..либо.. “ и т.п. Следует обратить внимание, что в повседневной речи союз “или” употребляется в двух смыслах: “исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью только одного из высказываний, и “не исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью хотя бы одного из высказываний.

 Пример: Пусть даны высказывания A:="монитор есть машинная программа, которая наблюдает, регулиру­ет, контролирует или проверяет операции в системе обработки данных", B - "монитор в языках програм­мирования есть высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающий доступ к неразделяемым ресурсам” и C - "монитор есть дисплей, ис­пользуемый для контроля процессов и уп­равления системой".

Тогда формула F = (AÚBÚC) отражает высказывание "монитор есть машинная про­грамма, которая наблюдает, регулирует, контролирует или проверяет операции  в системе обработки данных, или в языках про­граммирования - это высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающих доступ к неразделяемым ресурсам или дисплей, используемый для контроля процессов и управления системой"[8].

Пример: Пусть даны высказывания A:="в компьютере применяют матричный принтер", B:="в компьютере применяют струйный принтер", C:="в компьютере применяют лазерный принтер"; D:="в компьютере применяют литерный принтер".

Тогда формула F = (AÚBÚCÚD) отражает высказывание " в компьютере применяют матричный, струйный, лазерный или литерный принтеры"[8].

Импликация (F1®F2) есть двуместная операция, посредством ко­торой из формул F1 и  F2 получают новую формулу F=(F1®F2), отражающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда истинно значение F1 и ложно F2.

В программировании   для   этого    используют     оператор     IMPLIES:

F1 IMPLIES F2   ложно тогда и только тогда, когда F1 истинно, а F2 ложно.

Таблица истинности имеет следующий вид:

F1

F2

F1®F2

л

л

и

л

и

и

и

л

л

и

и

и

 

 

Импликация играет особую роль в математической логике, т.к. многие доказательства представляются в условной форме: “если…, то…”. При этом из истинности посылки (F1) и истинности импликации (F1®F2) следует  истинность заключениея F2.

На естественном языке эта операция выражается словами "если ..., то ... ", "тогда ..., когда ... ", "постольку ..., поскольку ... ", "при наличии ..., следует ... ", " ... есть достаточное условие для ... ", "... есть необходимое условие для ... ", "... при условии, что ..." и  т. п..

Употребление в повседневной речи слов “если…, то…” несколько отличается от использования их в математической логике. Так в повседневной речи, если высказывание F1 ложно, то сложное высказывание F1®F2   вообще не имеет смысла. В математической логике при ложном высказывании F1 значение сложного высказывания (импликации) всегда истинно.

Пример:  Пусть  даны высказывания A:="по проводнику протекает электричес­кий ток" и B - "вокруг проводника есть магнитное поле".

Тогда формула F=A®B отражает высказывание "если по проводнику протекает электрический ток, то вокруг проводника возникает магнитное поле".

Пример: Пусть даны высказывания A:="на упругое тело оказывают влияние внешние силы" и B:="в упругом теле возникают внутренние силы, препятствующие изменению формы”. Тогда формула F=(A®B) отражает высказывание "если на упругое тело оказывают влияние внешней силы, то в нем возника­ют внутренние силы, препятствующие изменению формы"

Эквиваленция (F1«F2) есть двухместная операция, посредством ко­торой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F=(F1«F2),  описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда оба операнда F1 и F2 имеют одинаковые значения.

В программирова­нии для этого используют оператор IFF:

F1 IFF F2 истинно тогда и только тогда, когда F1 и F2  имеют одинаковое значение.

Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности.

Эквиваленция позволяет выполнять в процессе логического доказательства  теорем замещения одной формулы другой.

 

 
 

     F1

    F2

F1«F2

л

л

и

л

и

л

и

л

л

и

и

и

 

На естественном языке это выражается словами "для того чтобы…, необходимо и достаточно…", "… лишь при ус­ловии..." и т. п..

Пример: Пусть даны высказывания A:="быть четным числом" и B:="число делится на два".

Тогда формула F=(A«B) отображает высказывание “для того, чтобы число было четным необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на два”.

Пример: Пусть даны высказывания A:=“выполнить загрузку операцион­ной системы в компьютер” и B:=“установить в компьютер диске­ту с записанной операционной системой“.

Тогда формула F= (A«B) отображает высказывание “для того, чтобы выпол­нить загрузку операционной системы в компьютер, необходимо и достаточно установить в компьютер дискету с запи­санной операционной системой"[9].

Пример: Пусть даны высказывания S:=“полная система функций матема­тической логики ", A:="система функций содержит хотя бы одну нелинейную функцию", B:="система функций содержит хотя бы одну немонотонную функцию", C:="система функций содержит хотя бы одну не самодвойственную функцию", D:="система функций содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую "0" ", E:="система функций содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую “1“”. Тогда формула F=(S«(A&B&C&D&E))  отражает сложное высказывание “для того чтобы система функций  математической логики была полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы по одной нелинейную, немо­нотонную и не самодвойственную функции, а также функции, не сохраняющие “0“ и “1“[9].

Пример: Пусть даны высказывания A:=”урожай будет стабильным еже­годно” и B:="выполнены все ирригационные работы".

Тогда формула F=(A«B) отображает высказывание "урожай будет еже­годно стабильным тогда и только тогда, когда будут выполне­ны все ирригационные работы"[10].

 

 
Скачать свежий драйвер на ноутбук. Рабочий купить нетбук дешево.