Эквивалвниией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое символом А Ù В (или º, ~, Û), которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний А и В совпадают. (см. таблицу).
Логическая операция, называемая эквивалентностью, соответствует союзу «тогда и только тогда, когда» и читается «А эквивалентно В», «Для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В».
Когдамы говорим «А только тогда, когда В» то имеем в виду, что оба предложения А и В одновременно истинны, либо одновременно ложны. Например, говоря: «Я поеду в Ленинград тогда и только тогда, когда ты поедешь в Киев», мы утверждаем, что-либо произойдет и то и другое, либо ни того, ни другого. Можно доказать используя таблицу истинности, что для любых высказываний А и В высказывание (А Û В) = 1 тогда и только тогда, когда (А Þ В) = 1 и (В Þ А) = 1.
Это утверждение используется при доказательстве теорем вида А Û В. Одним из способов доказательства истинности высказывания А Û В является доказательство истинности высказывания А Þ В (необходимость) и истинности высказывания В Þ А (достаточность).
Высказывания А и В называются равносильными., если (А Û В) = 1 говорят, что формулы F1 и F2 равносильны, если их эквиваленция F1 Û F2 — тавтология (тождественно истинное высказывание).
Рис. 2.10 Диаграмма Венна (эквиваленция)
Запись F1 º F2 читается : «формула F1 равносильна формуле F2»
А Û В º (А Þ В) Ù (В Þ А)
Равносильность есть отношение между формулами (также как равенство отношение между числами, параллельность — отношение между прямыми). Отношение равносильности обладает следующими свойствами:
а) рефлективности F º F
б) симметричности: если F1 º F2 то F2 º F1
в) транзитивности: если F1 º F2 и F2 º F3, то F1 º F3
Таким образом, в математической логике для записи более сложных высказываний используются следующие логические операции над простыми высказываниями:
Ø НЕ
& И
Ú ИЛИ
Þ влечет
Û совпадает.
Логическое выражение служит для задания вычислительного процесса нахождения логического значения, подобно тому, как в математике арифметическое выражение служит для задания правил вычисления некоторого числового значения. Напомним, что логическое выражение может иметь только одно из двух возможных значений true (1) или false (0).
Все рассмотренные логические операции иллюстрируются в сводной таблице ##, где булевские числа true и false заменены 1 и 0 соответственно.
Порядок старшинства логических операций следующий: Ø, &, Ù, Þ, Û.
Для изменения порядка выполнения логических операций используются круглые скобки. В первую очередь выполняются операции в скобках, затем все остальные логические операции в порядке старшинства слева направо.