ПФ, значения которых для любого набора переменных есть 1 (соответственно 0) будем называть тождественно истинными формулами, или тавтологиями (тождественно-ложными ПФ или противоречием).
Тавтологии играют в логике особо важную роль как формулы, отражающие логическую структуру предложений, истинных в силу одной только этой структуры. Для доказательства того, что ПФ является тавтологией достаточно построить таблицу истинности для этой ПФ. Перечислим некоторые основные тавтологии или законы логики. Обозначим | = А, что А тавтология. Справедливость | = и º вытекает из определений:
1. | = х º х — закон тождества
2. | = º 0 — закон противоречия
3. | = º1 — закон исключенного третьего
4. | = º х — закон двойного отрицания
5. | = = — закон идемпотентности
6. -законы де Моргана
7. | = — закон контрапозиции
8. | = — закон транзитивности импликации (закон силлогизма)
9. | = — закон противоположности
10.| = — закон транзитивности эквиваленции
Законы 1-3 выражают законы формальной логики, выведенные Аристотелем. Закон тождества требует, чтобы мысль, заключенная в высказывании не изменялась в течении всего рассуждения. Закон противоречия говорит, что одна и та же мысль не может быть одновременно и истинной и ложной.
В силу законов идемпотентности в алгебре логики нет показателей степени и коэффициентов (idem — «то же», potentia — сила).
Смысл законов де Моргана можно выразить так: отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний и vice versa. Согласно закону контрапозиции два предложения вида и одновременно истинны или одновременно ложны.
Две ПФ и назовем равносильными, если для любых наборов они принимают одинаковые значения.
Это обозначается АºВ и читается «А равносильно В» (равносильность рефлексивна, симметрична и транзитивна).
Теорема 1. А º В тогда и только тогда, когда | = А Û В. Убедимся, что теорема верна, если докажем необходимость: если АºВ, то | = А Û В; достаточность: если | = А Û В, то А º В. Справедливость этих утверждений вытекает непосредственно из определений.
Принцип двойственности: Если две формулы, (не содержащие знаков Þ, и Û) равносильны, то двойственные ил формулы равносильны.
Две формулы называются двойственными, если каждую из них можно получить из другой заменой Ù, Ú , 1, 0 соответственно на Ú , Ù, 0 и 1 (X Ú 0 = Х Ù 1).
Обратные и противоположные теоремы. Для каждого предложения, формализованного импликацией А Þ В, можно составить три таких предложения В Þ А, и . Предложение В Þ А называется обратным данному, предложения противоположным данному и обратно противоположным. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать обратное ей предложение «если В, то А». Однако не для всякой теоремы предложение ей обратное является истинным. Например: «если два прямоугольника конгруэнтны, то их площади равны», обратное: «Если площади двух прямоугольников равны, то они конгруэнтны» — неверно. Если А Þ В теорема, то А есть достаточное условие В, а В необходимое условие А. Если оба взаимообратных предложения А Þ В и В Þ А теоремы, т.е. предложение АÛ В теорема, то В является необходимым и достаточным условием А, а А достаточным и необходимым условием В (если два квадрата конгруэнтны…). Если А Þ В теорема, а В Þ А нет, то А — достаточное, но не необходимое условие В, а В — необходимое, но не достаточное условие А.
Для всякой теоремы А Þ В, можно составить противоположное предложение , которое может быть истинным, но может и не быть истинным. Чтобы убедиться в этом, надо составить таблицу истинности.
Согласно закону контрапозиции два предложения вида одновременно истинны или ложны. Вместо данной теоремы можно доказать обратно противоположную.