NP-полные задачи
При обсуждении класса NP следует иметь в виду, что наше мнение, согласно которому их решение требует большого времени, основано на том, что мы просто не нашли эффективных алгоритмов их решения. Может быть, посмотрев на задачу коммивояжера с другой точки зрения, мы смогли бы разработать полиномиальный алгоритм ее решения. То же самое можно сказать и про другие задачи, которые мы будем рассматривать в следующем параграфе.
Термин NP-полная относится к самым сложным задачам в классе NP. Эти задачи выделены тем, что если нам все-таки удастся найти полиномиальный алгоритм решения какой-либо из них, то это будет означать, что все задачи класса NP допускают полиномиальные алгоритмы решения.
Мы показываем, что задача является NP-полной, указывая способ выведения к ней всех остальных задач класса NP. На практике эта деятельность выглядит не столь уж устрашающе — нет необходимости осуществлять редукцию для каждой NP задачи. Вместо этого для того, чтобы доказать NP-полноту некоторой NP задачи А, достаточно свести к ней какую-нибудь NP-полную задачу В. Редуцировав задачу В к задаче А, мы показываем, что и любая NP задача может быть сведена к А за два шага, первый из которых ее редукция к В.
В предыдущем разделе мы выполняли редукцию полиномиального алгоритма. Посмотрим теперь на редукцию алгоритма, решающего NP задачу. Нам понадобится процедура, которая преобразует все составные части задачи в эквивалентные составные части другой задачи. Такое преобразование должно сохранять информацию: всякий раз, когда решение первой задачи дает положительный ответ, такой же ответ должен быть и во второй задаче, и наоборот.
Гамильтоновым путем в графе называется путь, проходящий через каждую вершину в точности один раз. Если при этом путь возвращается в исходную вершину, то он называется гамильтоновым циклом. Граф, в котором есть гамильтонов путь или цикл, не обязательно является полным. Задача о поиске гамильтонова цикла следующим образом сводится к задаче о коммивояжере. Каждая вершина графа — это город. Стоимость пути вдоль каждого ребра графа положим равной 1. Стоимость пути между двумя городами, не соединенными ребром, положим равной 2. А теперь решим соответствующую задачу о коммивояжере. Если в графе есть гамильтонов цикл, то алгоритм решения задачи о коммивояжере найдет циклический путь, состоящий из ребер веса 1. Если же гамильтонова цикла нет, то в найденном пути будет по крайней мере одно ребро веса 2. Если в графе N вершин, то в нем есть гамильтонов цикл, если длина найденного пути равна N, и такого цикла нет, если длина найденного пути больше N.
В 1971 году Кук доказал NP-полноту обсуждаемой в следующем параграфе задачи о конъюнктивной нормальной форме. NP-полнота большого числа задач была доказана путем редукции к ним задачи о конъюнктивной нормальной форме. В книге Гэри и Джонсона, опубликованной в 1979 году, приведены сотни задач, NP-полнота которых доказана.
Редукция — настолько мощная вещь, что если любую из NP-полных задач удастся свести к задаче класса Р, то и все NP задачи получат полиномиальное решение. До сих пор ни одна из попыток построить такое сведение не удалась.
Типичные NP задачи
Каждая из задач, которые мы будем обсуждать, является либо оптимизационной, либо задачей о принятии решения. Целью оптимизационной задачи обычно является конкретный результат, представляющий собой минимальное или максимальное значение. В задаче о принятии решения обычно задается некоторое пограничное значение, и нас интересует, существует ли решение, большее (и задачах максимизации) или меньшее (в задачах минимизации) указанной границы. Ответом в задачах оптимизации служит полученный конкретный результат, а в задачах о принятии решений — «да» или «нет».
Ранее мы занимались оптимизационным вариантом задачи о коммивояжере. Это задача минимизации, и нас интересовал путь минимальной стоимости. В варианте принятия решения мы могли бы спросить, существует ли путь коммивояжера со стоимостью, меньшей заданной константы С. Ясно, что ответ в задаче о принятии решения зависит от выбранной границы. Если эта граница очень велика (например, она превышает суммарную стоимость всех дорог), то ответ «да» получить несложно. Если эта граница чересчур мала (например, она меньше стоимости дороги между любыми двумя городами), то ответ «нет» также дается легко. В остальных промежуточных случаях время поиска ответа очень велико и сравнимо со временем решения оптимизационной задачи. Поэтому мы будем говорить вперемешку о задачах оптимизации и принятия решений, используя ту из них, которая точнее отвечает нашим текущим целям.
В следующих нескольких разделах мы опишем еще шесть NP задач — как в оптимизационном варианте, так и в варианте принятия решения.
Раскраска графа
Как мы уже говорили, граф G = (V, Е) представляет собой набор вершин, или узлов, V и набор ребер Е соединяющих вершины попарно. Здесь мы будем заниматься только неориентированными графами. Вершины графа можно раскрасить в разные цвета, которые обычно обозначаются целыми числами. Нас интересуют такие раскраски, в которых концы каждого ребра окрашены разными цветами. Очевидно, что в графе с N вершинами можно покрасить вершины в N различных цветов, но можно ли обойтись меньшим количеством цветов? В задаче оптимизации нас интересует минимальное число цветов, необходимых для раскраски вершин графа. В задаче принятия решения нас интересует, можно ли раскрасить вершины в С или менее цветов.
У задачи о раскраске графа есть практические приложения. Если каждая вершина графа обозначает читаемый в колледже курс, и вершины соединяются ребром, если есть студент, слушающий оба курса, то получается весьма сложный граф. Если предположить, что каждый студент слушает 5 курсов, то на студента приходится 10 ребер. Предположим, что на 3500 студентов приходится 500 курсов. Тогда у получившегося графа будет 500 вершин и 35 000 ребер. Если на экзамены отведено 20 дней, то это означает, что вершины графа нужно раскрасить в 20 цветов, чтобы ни у одного студента не приходилось по два экзамена в день.
Разработка бесконфликтного расписания экзаменов эквивалентна раскраске графов. Однако задача раскраски графов принадлежит к классу NP, поэтому разработка бесконфликтного расписания за разумное время невозможна. Кроме того при планировании экзаменов обычно требуется, чтобы у студента было не больше двух экзаменов в день, а экзамены по различным частям курсам назначаются в один день. Очевидно, что разработка «совершенного» плана экзаменов невозможна, и поэтому необходима другая техника для получения по крайней мере неплохих планов.
Раскладка по ящикам
Пусть у нас есть несколько ящиков единичной емкости и набор объектов различных размеров . В задаче оптимизации нас интересует наименьшее количество ящиков, необходимое для раскладки всех объектов, а в задаче принятия решения — можно ли упаковать все объекты в В или менее ящиков.
Эта задача возникает при записи информации на диске или во фрагментированной памяти компьютера, при эффективном распределении груза на кораблях, при вырезании кусков из стандартных порций материала по заказам клиентов. Если, например, у нас есть большие металлические листы и список заказов на меньшие листы, то естественно мы хотим распределить заказы как можно плотнее, уменьшив тем самым потери и увеличив доход.
Упаковка рюкзака
У нас имеется набор объектов объемом стоимости . В задаче оптимизации мы хотим упаковать рюкзак объемом К так, чтобы его стоимость была максимальной. В задаче принятия решения нас интересует, можно ли добиться, чтобы суммарная стоимость упакованных объектов была по меньшей мере W.
Эта задача возникает при выборе стратегии вложения денег: объемом здесь является объем различных вложений стоимостью — предполагаемая величина дохода, а объем рюкзака определяется размером планируемых капиталовложений.
Задача о суммах элементов подмножеств
Пусть у нас есть множество объектов различных размеров и некоторая положительная верхняя граница L. В задаче оптимизации нам необходимо найти набор объектов, сумма размеров которых наиболее близка к L и не превышает этой верхней границы. В задаче принятия решения нужно установить, существует ли набор объектов с суммой размеров L. Это упрощенная версия задачи об упаковке рюкзака.
Задача об истинности КНФ-выражения
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) представляет собой последовательность булевских выражений, связанных между собой операторами AND (обозначаемыми ), причем каждое выражение является мономом от булевских переменных или их отрицаний, связанных операторами OR (которые обозначаются через ). Вот пример булевского выражения в конъюнктивной нормальной форме (отрицание обозначается чертой над именем переменной):
.
Задача об истинности булевского выражения в конъюнктивной нормальной форме ставится только в варианте принятия решения: существуют ли у переменных, входящих в выражение, такие значения истинности, подстановка которых делает все выражение истинным. Как число переменных, так и сложность выражения не ограничены, поэтому число комбинаций значений истинности может быть очень велико.
Задача планирования работ
Пусть у нас есть набор работ, и мы знаем время, необходимое для завершения каждой из них, , сроки , к которым эти работы должны быть обязательно завершены, а также штрафы , которые будут наложены при незавершении каждой работы в установленные сроки. Задача оптимизации требует установить порядок работ, минимизирующий накладываемые штрафы. В задаче принятия решений мы спрашиваем, есть ли порядок работ, при котором величина штрафа будет не больше Р.