Рассмотрим высказывательную форму cosх=1. Каждому значению «х» на множестве действительных чисел эта форма ставит в соответствие высказываниеи, тем самым, одно из значений истинности {0,1}. Так значению х = 0, соответствует истинное высказывание cos0 = 1, при х = 2p соответствует истинное высказывание cos2p = 1, вообще всякому значению х кратному 2х соответствует истинное высказывание, а всем остальным значениям ложные высказывания. Т.о. данная высказывательная форма задает отображение множества R действительных чисел на множество {1, 0} или {и, л}, иначе говоря, задает функцию с областью определения R и множеством значений {1, 0}.
Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции или областью отправления, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений (прибытия) функциии, в-третьих, указанно определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, становится в соответствие некоторый элемент из области значений.
Произвольный элемент взятый из области определения функции называется аргументом и обозначается “х”. Правило соответствия обозначается F, т.о. запись у=F(х) означает, что х — аргумент, у — функция, F — правило соответствия.
Функция, область определения которой задана множеством М, а все значения которой, принадлежат множеству {1, 0} называется предикатом.
Пример 1: Если переменная “х” в высказывательной форме «Река х впадает в Каспийскоеморе» принимает значение из множества М названий всевозможных рек, то эта форма задает предикат.
Из высказывательных форм можно получать высказывания не только подстановкой вместо переменныхих значений, но и с помощью специальных слов: «всякий» (а также его синонимов «любой», «каждый») и «существует» («некоторые», «по меньшей мере один») например из высказывательной формы: «Число х делится на 7» можно получить ложное высказывание “Всякое число х делится на 7” и истинное высказывание «Существует число х, которое делится на 7».
Выражение «для всякого х» называется кванторам общности по переменной х (вместо х может быть любая другая переменная) и записывается » х (Ф (х)).
Выражение, «существует х, такое что…» называется квантором существования по переменной х и обозначается $ х (Ф(х)), что означает существует значение «х» такое, что Ф(х) при этом значении — истинное высказывание. Переход от формы Ф(х) к высказыванию » х (Ф(х)) или $ х (Ф(х)) называется операцией квантификацией формы Ф(х). Будем называть переменную «х» в Ф(х) после применения к ней операции квантификации связанной переменной. В отличие от связанных переменных, переменные в первоначальном смысле слова называются свободными переменными.