Исходным понятием математической логики является “высказывание”. Поэтому любое повествовательное предложение, которое может быть признано истинным или ложным, называют высказыванием. Логическим значением высказывания являются “истина” или “ложь”.
Например, повествовательное предложение «З есть простое число» является истинным, а “3.14… — рациональное число» — ложным, «Колумб открыл Америку» — истинным, а «Киев — столица Узбекистана» – ложным, “Число 6 делится на 2 и на 3” – истинным, а “Сумма чисел 2 и 3 равна 6” – ложным и т.п.
Такие высказывания называют простыми или элементарными. При формальном исследовании сложных текстов вместо понятия “простые высказывания” замещают понятием “пропозициональные переменные” (от лат. propositio — предложение), которые обозначают прописными буквами латинского алфавита “A”, “B”, “C”,… Истинность или ложность высказывания будем отмечать символами “и” – истина или “л” – ложь.
Пример:
1) если A1:=“3 — простое число”, то A1 = и;
2) если A2:=“3 — вещественное число”, то A2 = и;
3) если A3:=“3 — целое число”, то A3 = и;
4) если B1:=“3, 14…- рациональное число”, то B1 = л;
5) если B2:=“3, 14…- не рациональное число”, то B2 = и;
6) если C:=“Колумб открыл Америку”, то C = и;
7) если D:=“Киев — столица Узбекистана”, то D = л;
8) если E:= “Число 6 делится на 1, 2 и 3”, то E = и;
9) если G:=“Число 6 есть сумма чисел 1, 2, 3”, то G = и.
Примечание: символ “:=” означает, что пропозициональной переменной, стоящей слева, присвоить значение высказывания, стоящего справа от символа.
Высказывания, которые получаются из простых предложений с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “… тогда и только тогда, когда…” и т.п., называют сложными или составными. Для обозначения грамматических связок вводят символы, которые называют логическими(или пропозициональными) связками. Например, Ú:=”или”, &:=“и”, ù:=”не”, ®:=“если…, то…”,«:=“…тогда и только тогда, когда …”.
Для построения сложных пропозициональных высказываний используют вспомогательные символы “(“, “)” — скобки.
Пример:
1) если высказывание “3 – вещественное или целое число”, то формула (A1ÚA2) = и;
2) если высказывание ”3,14… — рациональное число”, то формулы B1=л или ùB1 = и;
3) если высказывание “число 6 делится на 1, 2, 3 и представляет сумму делителей 1, 2, 3”, то формула (E&G)= и;
4) если высказывание “если 3 — целое число, то оно вещественное”, то формула (A3® A2)=и;
5) если высказывание ”если 3 – простое число ,то оно целое”, то формула (A1® A3)=и;
6) если высказывание “3 есть простое число тогда и только тогда, когда оно целое”, то формула (А1«А2)=и.
Обозначения элементарных высказываний А1, А2, А3, В1, Е, G взяты из предыдущего примера.
Правила построения сложных высказываний в виде последовательности пропозициональных переменных, логических связок и вспомогательных символов определяют возможность формального описания любого текста.
При формальной записи сложного высказывания всегда нужно исходить из его содержания. До тех пор пока не определена логическая структура сложного высказывания, его нельзя формально описывать.
Правила исполнения логических операций над сложными высказываниями на основе заданных логических связок и пропозициональных переменных формируют алгебру высказываний.
Правила вывода новых высказываний, основанные на известных отношениях между заданными пропозициональным переменными, формируют исчисление высказываний. Высказывания, из которых делают вывод новых высказываний, называют посылками, а получаемое высказывание – заключением.
Математическая логика рассматривает формальный способ рассуждения, встречающийся не только в математике, но и в повседневной жизни.
Алгебра высказываний
Множество пропозициональных переменных T={A, B, C,…} с заданными над ним логическими операциями F={ù; & Ú; ®; « } формируют алгебру высказываний, т.е.
Aв=F;>
Символы логических операций заданы логическими связками:
ù — отрицание, & — конъюнкция, Ú — дизъюнкция, ® — импликация, « — эквиваленция.
Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических связок отрицания, коньюнкции, дизьюнкции, импликации и эквиваленции, называют формулой алгебры логики.
Любую пропозициональную переменную можно назвать формулой нулевого порядка, т. е. Ai =Fi.
Если F1 и F2 – пропозициональные формулы, то ùF1; ùF2; F1&F2; F1ÚF2; F1®F2 и F1«F2 также пропозициональные формулы.
Никаких других формул в исчислении высказываний нет.
Множество формул образуют язык математической логики. Это множество перечислимо и разрешимо.
Для формирования сложных формул используют вспомогательные символы “(“ и “)”.