Для определения истинности сложного суждения необходимо анализировать значение истинности каждого составного высказывания и формировать последовательно значение истинности каждой подформулы, входящей в формулу сложного суждения. Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в нее пропозициональных переменных. Все возможные логические значения формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть полностью описаны с помощью таблицы истинности.
Пример: Суждение «если инвестиции на текущий год не изменятся (A), то возрастет расходная часть бюджета (B) или возникнет безработица (C), а если возрастет расходная часть бюджета, то налоги не будут снижены (D) и, наконец, если налоги не будут снижены и инвестиции не изменятся, то безработица не возникнет» [10 ].
В этом суждении есть четыре повествовательных предложения, которые следует заместить пропозициональными переменными и формально описать суждение. Тогда формула сложного суждения имеет вид:
F =(A®(BÚC))&(B®D)&((D&A)® ùC).
Для различных значений истинности пропозициональных переменных и подформул, построенных на логических связках, можно последовательно определить значение истинности формулы F. Таблица, в которой рассматриваются любые наборы пропозициональных переменных и определяются значения всех подформул формулы, называют таблицей истинности.
Ниже представлена таблица истинности для этого суждения.
A | B | C | D | ùC | 4&1 | 2Ú3 | 1®7 | 2®4 | 6®5 | 8&9 | 11&10 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Л | Л | Л | Л | И | Л | Л | И | И | И | И | И |
Л | Л | Л | И | И | Л | Л | И | И | И | И | И |
Л | Л | И | Л | Л | Л | И | И | И | И | И | И |
Л | Л | И | И | Л | Л | И | И | И | И | И | И |
Л | И | Л | Л | И | Л | И | И | Л | И | Л | Л |
Л | И | Л | И | И | Л | И | И | И | И | И | И |
Л | И | И | Л | Л | Л | И | И | Л | И | Л | Л |
Л | И | И | И | Л | Л | И | И | И | И | И | И |
И | Л | Л | Л | И | Л | Л | Л | И | И | Л | Л |
И | Л | Л | И | И | И | Л | Л | И | И | Л | Л |
И | Л | И | Л | Л | Л | И | И | И | И | И | И |
И | Л | И | И | Л | И | И | И | И | Л | И | Л |
И | И | Л | Л | И | Л | И | И | Л | И | Л | Л |
И | И | Л | И | И | И | И | И | И | И | И | И |
И | И | И | Л | Л | Л | И | И | Л | И | Л | Л |
И | И | И | И | Л | И | И | И | И | Л | И | Л |
Для удобства записи любой подформулы и формулы каждый столбец пронумерован и логические операции выполняются с индексами столбцов. В 12-ом столбце таблицы выделены те строки, в которых формула имеет истинное значение при различных наборах значений пропозициональных переменных (A, B,C и D).
Пример: «Если в строительстве внедряются современные методы планирования и руководства (А), то стройки будут расти быстрее (В), а стоимость строительства будет снижаться (С). В строительстве уже внедряются современные методы планирования и руководства. Следовательно, стройки будут расти быстрее, а стоимость строительства будет снижаться.»[2]
А®В&С; A
В&С.
A |
B |
C |
2&3 |
1®4 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
л |
л |
л |
л |
и |
||
л |
л |
и |
л |
и |
||
л |
и |
л |
л |
И |
||
л |
и |
и |
и |
И |
||
и |
л |
л |
л |
Л |
||
и |
л |
и |
л |
Л |
||
и |
и |
л |
л |
Л |
||
и |
и |
и |
и |
И |
Пример: Суждение: ”Контракт будет выполнен (A) тогда и только тогда, когда дом будет сдан в эксплуатацию (B). Если дом будет сдан в декабре, то в январе можно переезжать в новые квартиры (C). Если в январе квартиросъемщики не переезжают, то они не оплачивают квартирную плату. Даже если контракт не выполнен, то квартиросъемщики должны внести квартирную плату. Квартиросъемщики внесут квартирную плату” [10].
В этом суждении пять высказываний. Формулы первых четырех высказываний формируют посылки, а формула пятого высказывания – заключение. Посылки и заключение также разделены между собой чертой.
A«B; B®C; ùC®ùD; ùA®D
D.
Ниже представлена таблица истинности для такого суждения.
A | B | C | D | 1«2 | 2®3 | ù3®ù4 | ù1®4 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
Л | Л | Л | Л | И | И | И | Л | ||
Л | Л | Л | И | И | И | Л | И | ||
Л | Л | И | Л | И | И | И | Л | ||
Л |
Л | И | И | И | И | И | И | ||
Л | И | Л | Л | Л | Л | И | Л | ||
Л | И | Л | И | Л | Л | Л | И | ||
Л | И | И | Л | Л | И | И | Л | ||
Л | И | И | И | Л | И | И | И | ||
И | Л | Л | Л | Л | И | И | И | ||
И | Л | Л | И | Л | И | Л | И | ||
И | Л | И | Л | Л | И | И | И | ||
И | Л | И | И | Л | И | И | И | ||
И | И | Л | Л | И | Л | И | И | ||
И | И | Л | И | И | Л | Л | И | ||
И | И | И | Л | И | И | И | И | ||
И | И | И | И | И | И | И | Л |
Пример: Суждение: “Если цены высокие (A), то и заработная плата должна быть также высокой (B). Цены высокие или применяется регулирование цен (C). Если применяется регулирование цен, то нет инфляции (ùD). Инфляция есть. Следовательно, заработная плата должна быть высокой” [10].
В этом суждении пять высказываний. В первом есть два простых предложения (A, B), во втором – два (A, C), в третьем – два (C, D), в четвертом – одно (D) и в пятом – одно (B). Формулы первых четырех высказываний формируют посылки, а формула пятого высказывания – заключение. Посылки и заключение разделены между собой чертой.
A®B; AÚC; C®ùD; D
B.
A | B | C | D | 1®2 | 1Ú3 | ù4 | 3®7 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
Л | Л | Л | Л | И | Л | И | И | ||
Л |
Л | Л | И | И | Л | Л | И | ||
Л | Л | И | Л | И | И | И | И | ||
Л | Л | И | И | И | И | Л | Л | ||
Л | И | Л | Л | И | Л | И | И | ||
Л | И | Л | И | И | Л | Л | И | ||
Л | И | И | Л | И | И | И | И | ||
Л | И | И | И | И | И | Л | Л | ||
И | Л | Л | Л | Л | И | И | И | ||
И | Л | Л | И | Л | И | Л | И | ||
И | Л | И | Л | Л | И | И | И | ||
И | Л | И | И | Л | И | Л | Л | ||
И | И | Л | Л | И | И | И | И | ||
И | И | Л | И | И | И | Л | И | ||
И | И | И | Л | И | И | И | И | ||
И | И | И | И | И | И | Л | Л |
Пример: “Распространение заведомо ложных, позорящих другое лицо измышлений (А) является клеветой (В). Умышленное извращение фактов в заявлении на другое лицо (С) представляет собой распространение заведомо ложных, позорящих другое лицо измышлений. Клевета уголовно наказуема (D). Следовательно, умышленное извращение фактов в заявлении на другое лицо уголовно наказуемо”[4].
В этом суждении четыре сложных высказывания, три из которых являются посылками, а одно — заключением.
A®B; C®A; B®D
C®D.
A A | B | C | D | 1®2 | 3®1 | 2®4 | 3®4 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Л | Л | Л | Л | И | И | И | И |
Л | Л | Л | И | И | И | И | И |
Л | Л | И | Л | И | Л | И | Л |
Л | Л | И | И | И | Л | И | И |
Л | И | Л | Л | И | И | Л | И |
Л | И | Л | И | И | И | И | И |
Л | И | И | Л | И | Л | Л | Л |
Л | И | И | И | И | Л | И | И |
И | Л | Л | Л | Л | И | И | И |
И | Л | Л | И | Л | И | И | И |
И | Л | И | Л | Л | И | И | Л |
И | Л | И | И | Л | И | И | И |
И | И | Л | Л | И | И | Л | И |
И | И | Л | И | И | И | И | И |
И | И | И | Л | И | И | Л | Л |
И | И | И | И | И | И | И | И |
Пример: суждение “если курс ценных бумаг возрастет (A) или процентная ставка снизится (B), то курс акций упадет (C) или налоги не повысятся (D); курс акций падает тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и растут налоги; если процентная ставка снизится, то либо курс акций не понизится, либо курс ценных бумаг не возрастет. Следовательно, если налоги повысить, то не вырастет курс ценных бумаг и вырастет курс акций” [10].
В этом суждении есть четыре сложных высказывания, три из которых являются посылками, а одно — заключением.
В первом высказывании есть четыре простых предложения, которые должны быть замещены пропозициональными переменными: A:=”курс ценных бумаг возрастет”, “B:=”процентная ставка снизится”, C:=”курс акций упадет” и D:=”налоги не повысятся”. Во втором высказывании – три предложения (A, C, D). В третьем – три предложения (A, B, C), в четвертом – три предложения (F, C, D). Формулы первых трех высказываний формируют посылки, а формула четвертого высказывания – заключение. Посылки и заключение разделены между собой чертой.
(AÚB)®(CÚD); C«(A&ùD); B®(ùCÚùA)
(ùD®(ùA&ùС )).
A | B | C | D | 1Ú2 | 1&ù4 | 3Ú4 | 5®7 | 3«6 | ù3Úù1 | 2®10 | ù1&ù3 | ù4®12 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Л | Л | Л | Л | Л | Л | Л | И | И | И | И | И | И |
Л | Л | Л | И | Л | Л | И | И | И | И | И | И | И |
Л | Л | И | Л | Л | Л | И | И | Л | И | И | Л | Л |
Л | Л | И | И | Л | Л | И | И | Л | И | И | Л | И |
Л | И | Л | Л | И | Л | И | И | И | И | И | И | И |
Л | И | Л | И | И | Л | И | И | И | И | И | И | И |
Л | И | И | Л | И | Л | И | И | Л | И | И | Л | Л |
Л | И | И | И | И | Л | И | И | Л | И | И | Л | И |
И | Л | Л | Л | И | И | Л | Л | Л | И | И | Л | Л |
И | Л | Л | И | И | Л | И | И | И | И | И | Л | И |
И | Л | И | Л | И | И | И | И | И | Л | И | Л | Л |
И | Л | И | И | И | Л | И | И | Л | Л | И | Л | И |
И | И | Л | Л | И | И | Л | Л | Л | И | И | Л | Л |
И | И | Л | И | И | Л | И | И | И | И | И | Л | И |
И | И | И | Л | И | И | И | И | И | Л | Л | Л | Л |
И | И | И | И | И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л | И |
Выделенные строки таблицы показывают при каких значениях пропозициональных переменных (A, B, C и D) истинны посылки и заключение.
Пример: Суждение: “Или Катя и Вася одного возраста (А), или Катя старше Васи (В). Если Катя и Вася одного возраста, то Маня и Вася не одного возраста (С). Если Катя старше Васи, то Вася старше Толи (D). Следовательно, или Маня и Вася не одного возраста, или Вася старше Толи” [2].
АÚB; A®С; B®D
CÚD
A | B | C | D | 1Ú2 | 1®3 | 2®4 | 3Ú4 | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
Л |
Л | Л | Л | Л | И | И | Л | ||
Л | Л | Л | И | Л | И | И | И | ||
Л | Л | И | Л | Л | И | И | И | ||
Л | Л | И | И | Л | И | И | И | ||
Л | И | Л | Л | И | И | Л | Л | ||
Л | И | Л | И | И | И | И | И | ||
Л | И | И | Л | И | И | Л | И | ||
Л | И | И | И | И | И | И | И | ||
И | Л | Л | Л | И | Л | И | Л | ||
И | Л | Л | И | И | Л | И | И | ||
И | Л | И | Л | И | И | И | И | ||
И | Л | И | И | И | И | И | И | ||
И | И | Л | Л | И | Л | Л | Л | ||
И | И | Л | И | И | Л | И | И | ||
И | И | И | Л | И | И | Л | И | ||
И | И | И | И | И | И | И | И |
Пример: Если 2 — простое число (А), то это наименьшее простое число (В). Если 2 — наименьшее простое число, то 1 не простое число (С). Число 1 — не простое число. Следовательно, 2 -простое число. [7]
A®B; B®C; C
A.
A |
B |
C |
1®2 |
2®3 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
л |
л |
л |
и |
и |
||
л |
л |
и |
и |
и |
||
л |
и |
л |
и |
л |
||
л |
и |
и |
и |
и |
||
и |
л |
л |
л |
и |
||
и |
л |
и |
л |
и |
||
и |
и |
л |
и |
л |
||
и |
и |
и |
и |
и |
Приведенные примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных суждений. Так при записи сложных высказываний следует обращать внимание, чтобы в формулах не было двух рядом стоящих логичеcких связок — они должны быть разъединены формулами либо вспомогательными символами и не было двух рядом стоящих формул — они должны быть разъединены логической связкой.
При записи сложных формул следует помнить, что
1) каждое вхождение логической связки “ù” относится к пропозициональной переменной или формуле, следующей непосредственно за логической связкой справа;
2) каждое вхождение логической связки “&” после расстановки скобок связывает пропозициональные переменные или формулы, непосредственно окружающие логическую связку;
3) каждое вхождение логической связки “Ú” после расстановки скобок связывает пропозициональные переменные или формулы, непосредственно окружающие эту связку и т.д.
При использовании этих правил к одной и той же формуле скобки следует расставлять постепенно, продвигаясь слева направо.
Логические связки по силе и значимости могут быть упорядочены так: ù; & Ú; ®; «. То есть самой сильной связкой является отрицание, затем коньюнкция, дизьюнкция, импликация и, наконец, эквиваленция. Зная правила о силе логических связок, можно опускать те пары скобок, без которых ясен порядок исполнения логических операций.
Пример: пусть дана формула F=(((F1Ú(ùF2))®F3)«F4).
Необходимо удалить скобки.
1) убрать внешние скобки для формулы, так как они не определяют старшинство никаких операций:
F=((F1Ú(ùF2))®F3)«F4;
2) убрать скобки, охватывающие формулу импликации, так как операция эквиваленции будет исполняться только после выполнения операции импликации:
F=(F1Ú(ùF2))®F3«F4;
3) убрать скобки, охватывающие формулу дизъюнкции, так как операция импликации будет исполняться только после выполнения операции дизъюнкции:
F=F1Ú(ùF2)®F3«F4;
4) убрать скобки, охватывающие формулу отрицания, так как операция дизъюнкции будет исполняться только после выполнения операции отрицания:
F=F1ÚùF2®F3«F4;
Итак, последовательность исполнения операций после задания значений пропозациональных переменных следующая: сначала необходимо определить значение формулы (ùF2), затем (F1Ú(ùF2)) затем ((F1Ú(ùF2))®F3) и, наконец, (((F1Ú(ùF2))®F3)«F4)
Пример: Дана формула F=F1&F2&F3ÚùF1®F3«F1. Необходимо расставить все скобки.
1) поставить скобки на формулу, реализующую операцию отрицания:
F1&F2&F3Ú(ùF1)®F3«F1;
2) поставить скобки на формулу, реализующую операцию конъюнкции:
F=((F1&F2)&F3)Ú(ùF1)®F3«F1;
3) поставить скобки на формулу, реализующую операцию дизъюнкции:
F=(((F1&F2)&F3)Ú(ùF1))®F3«F1;
4) поставить скобки на формулу, реализующую операцию импликации:
F=((((F1&F2)&F3)Ú(ùF1))®F3)«F1;
5) поставить скобки на формулу, реализующую операцию эквиваленции:
F=(((((F1&F2)&F3)Ú(ùF1))®F3)«F1).