Простейшими логическими операциями над предикатами также, как в исчислении высказываний, являются отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.
Отрицание (ùF(t1; t2;¼ tn)) есть одноместная операция, посредством которой из данной формулы F(t1; t2;¼ tn) получают ее отрицание.
Пример: Если Р2 (х; a):= "х находится на a" и a=”стол”, то формулы:
а) "x(ù Р2 (х; a)):= "для всех х верно, что х не находится на a “;
б) ù "x( Р2 (х; a)):= "не для каждого х верно, что х находится на a”;
в) ù $x( Р2 (х; a)):= “не существует х, для которого верно, что х находится на a”.
В логике предикатов недостаточно использовать таблицы истинности Для доказательства истинности суждения необходимо использовать аксиомы исчисления предикатов.
Конъюнкция (F1(t11; t12; ..t1n)&F2(t21; t22;..t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11; t12;¼ t1n; t21; t22;¼ t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинны обе формулы F1 и F2.
Пример: Если P1(х):=“выдающийся музыкантом” и
P2(х):= "талантливый писатель”, то формулы:
а) $x(P1(х))&$x(P2(х)):= ”существуют выдающиеся музыканты и существуют талантливые писатели";
б) $x(P1(х)&P2(х)):= ”существуют лица, являющиеся талантливыми писателями и выдающимися музыкантами”.
Пример: Если х - предметная переменная для индивида,
a- предметная постоянная для индивида (например, Саша) и
P 21 (х; a):=”х дружит с a”, P22. (х; a):=“х встретил a ”, то формулы :
а) $x(P21.(х; a)&P22.(х; a)):= “Саша встретил друга”;
б) $x(ù P21.(х; a)&P22.(х; a)):=“Саша встретил недруга”;
в) ù"x(P21.(х; a)&P22.(х; a)):= “не каждый встречный есть друг Саши”;
r) $x(P21.(х; a)&(ùP22.(х; a))):= “существуют друзья, с которыми Саша не встречается”.
Дизъюнкция (F1(t11; t12; ..t1n)ÚF2(t21; t22; ..t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11; t12;¼ t1n; t21; t22;¼ t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинна хотя 6ы одна из формул F1 или F2.
Пример: Если х, у предметные переменные для городов России, P21.(х; y):= “переезд из х в у поездом”; P22.(х;y):= “переезд из х в у самолетом”; P23.(х; y):= “переезд из х в у автобусом”, то формулы:
a) "x"y(P21.(х; y)ÚP22.(х; y)ÚP23.(х; y)):= “для всех городов России возможен переезд поездом, автобусом или самолетом”;
б) ù"x$y(P21. (х; y)Úù P22. (х; y)Úù P23. (х; y)) - "не для всех городов x существуют города y, между которыми невозможен переезд автобусом или самолетом, но возможен поездом”.
Импликация (F1(t11; t12;..t1n)®F2(t21; t22;..t2n)) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1и F2 получают новую формулу F(t11; t12;..t1n; t21; t22;..t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда F1 истинно, а F2 - ложно.
Пример: Если х - предметные переменные для индивида, P1(x):= "быть судьей", P2(x):= "быть юристом", то допустимы формулы:
a) "x(P1(x)®P2(x)):= "все судьи - юристы";
б) ù"x(P2(x)®P1(x)):= "неверно, что все юристы - судьи",
Пример: Если х - предметная переменная для животного и P1(x):= "хищное животное", а P2(x):= "кошка", то допустима формула:
"x(P2(x)® P1(x)) "все кошки - хищные животные".
Пример: Если х-предметная переменная для индивида и P1(x):="x принадлежит к большинству", а P2(x):= "x стремится к миру", то допустима формула:
$x(P1(x)&P2(x))&"x(P1(x)®P2(x)):= “большинство людей стремится к миру".
Пример: Если х,y - предметная переменная для индивида и P1(x):= "быть юношей", P2(x):="быть девушкой", P23.(х; y):="х любит у", P24.(х; y):="х женат на у",
то допустимы формулы:
a) "x(P1(x)®$y(P2(x)&P23. (х; y)):= “каждый юноша любит хотя бы одну девушку";
б) "x"y(P1(x)&P2(y)&P23.(х; y)®P24.(х; y)):=“юноши и девушки, которые любили друг друга, сформировали семьи".
Эквиваленция (F1(t11;t12;..t1n)«F2(t21; t22;..t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F (t11; t12;¼ t1n; t21; t22;¼ t2n ) c числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда обе формулы F1 и F2 имеют одно и то же значение истины или лжи.
Пример: Если х-предметная переменная для животных и P1(x):= "быть тюленем", P2(x):= "быть ластоногим животным", то допустима формула:
"x(P1(x)« P2(x)):= "все тюлени-ластоногие животные".
Пример: Если х - предметная переменная, Р(х) - предикат, то допустима формула $x(P(x))«ù"x(ùP(x)):= "существует переменная х, для которой Р(х) истинно, эквивалентно не для всех х Р(х) ложно".