Умозаключения, как и понятия и суждения, являются формой абстрактного мышления. С помощью многообразных видов умозаключений опосредованно (т. е. не обращаясь к органам чувств) мы можем получать новые знания. Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений (называемых посылками), поставленных во взаимную связь. Возьмем пример умозаключения:
Все углероды горючи.
Алмаз — углерод.
Алмаз горюч.
Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между посылками и заключением. Логический переход от посылок к заключению называется выводом. В приведенном примере два первые суждения, стоящие над чертой, являются посылками; суждение “Алмаз горюч” является заключением. Для того, чтобы проверить истинность заключения “Алмаз горюч”, вовсе не нужно обращаться к непосредственному опыту, т.е. сжигать алмаз. Заключение о горючести алмаза с полной достоверностью можно получить посредством умозаключения, опираясь на истинность посылок и соблюдение правил вывода.
Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них.
Умозаключения делятся на такие виды: дедуктивные, индуктивные, по аналогии. Умозаключения могут быть логически необходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).
Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.
Понятие логического следования
Выведение следствий из данных посылок — широко распространенная логическая операция. Как известно, условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязательно подлежат в дальнейшем исключению.
Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не применяя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Математическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить следствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой информации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.
Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.
Иными словами, некоторое выражение В есть логическое следствие из формулы А (где А и В -метазнаки для различных по форме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные высказывания, которые входят в А ú В, переменными, мы получим тождественно-истинное выражение(А → В), или закон логики.
Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: 1) “Если Иван -брат Марьи или Иван — сын Марьи, то Иван и Марья -родственники”; 2) “Иван и Марья — родственники”; 3) “Иван — не сын Марьи”. Можно ли из них вывести логическое следствие, что “Иван — брат Марьи”? Многим сначала кажется, что такое логическое заключение из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение “Иван — брат Марьи” буквой (переменной) а, суждение “Иван — сын Марьи” — буквой b и суждение “Иван и Марья — родственники” — буквой с.
Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные посылки, под чертой — предполагаемое заключение):
(aú 6)→ c, c,b
а
Объединив три посылки знаком конъюнкции (“^”) и присоединив к ним посредством знака “±” предполагаемое заключение а, получим формулу:
(((а úb)→ c)^c^b)→ a
Нам нужно проверить, является ли данная формула, в которой а, b, с трактуются теперь как переменные, законом логики.
Составим для формулы таблицу:
|
а |
b |
с |
a úb |
(aúb)→с |
((aú b)→ c)^c^ |
(((aúb)→ с) ^ с ^)→ а |
|
|
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
|
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
|
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
|
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
|
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
|
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
|
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
|
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
В последней колонке формула в одном случае принимает значение “ложь”, значит, она не является законом логики. Следовательно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что “Иван — брат Марьи”. Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.
Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы , имеем дело с большим числом посылок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).