Любое повествовательное предложение, которое может быть признано истинным или ложным, называют высказыванием. Логическим значением высказывания являются “истина” или “ложь”. Например, повествовательное предложение «З есть простое число» является истинным. Такие высказывания называют простыми или элементарными. При формальном исследовании сложных текстов вместо понятия “простые высказывания” замещают понятием “пропозициональные переменные”,которые обозначают прописными буквами латинского алфавита “A”, “B”, “C”,… Истинность или ложность высказывания будем отмечать символами “и” – истина или “л” – ложь.
Высказывания, которые получаются из простых предложений с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “… тогда и только тогда, когда…” и т.п., называют сложными или составными. Для обозначения грамматических связок вводят символы, которые называют логическими(или пропозициональными) связками. Для построения сложных пропозициональных высказываний используют вспомогательные символы “(“, “)” — скобки. Правила вывода новых высказываний, основанные на известных отношениях между заданными пропозициональным переменными, формируют исчисление высказываний. Высказывания, из которых делают вывод новых высказываний, называют посылками, а получаемое высказывание – заключением. Т. Обр., логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений. Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.
Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы.
Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина». Тождественно-ложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь». Выполнимая формула может принимать как значение «истина», так и значение «ложь». Логика высказываний, построенная табличным способом, дает эффективную процедуру для выявления законов логики и видов отношений между суждениями.
Опишем способ установления видов логических отношений между суждениями:
— суждения переводятся на язык логики высказываний;
— для формул, соответствующих суждениям, строятся сравнимые таблицы истинности;
— устанавливаются виды отношений между суждениями на основе следующих определений:
1. суждения совместимы по истинности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «истина»; 2. суждения совместимы по ложности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «ложь»; 3. из суждений А1, А2, …, Аn следует суждение B, если и только если в сравнимых таблицах нет строки, в которой все формулы, соответствующие суждениям А1, А2, …, Аn имеют значение «истина», а формула, соответствующая суждению В, имеет значение «ложь».
Форма конъюнктивного суждения: (АÙВ). Каждое из высказываний А и В может принимать как значение «истина», так и значение «ложь». Эти значения для краткости будем обозначать буквами и, л. Возьмем сложное соединительное (конъюнктивное) высказывание «Сегодня мы идем в музей и мы идем в кино». Таблица истинности имеет вид:
|
A |
B |
AÙB |
|
и и л л |
и л и л |
и л л
л |