ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Общая характеристика логики высказываний

Высказывание — языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Высказывания (как и соответствующие им схемы построения) делятся на простые и сложные. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание на более простые не расчленяется. При построении схем в качестве переменных для простых высказываний обычно используются строчные буквы латинского алфавита: p,q,r,s,…; для любых же (иногда нам безразлично, простое это высказывание или сложное) — прописные буквы этого алфавита: A,B,C,D, …

Схема высказывания принимает логическое значение – «истинно» или «ложно».

Логическое значение сложной схемы высказывания в современной логике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых схем.

Определения важнейших схем логики высказываний

Сложные высказывания и соответствующие им схемы образуются с помощью особых выражений, которые называются функторами (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция). Сложную схему принято называть именем функтора, с помощью которого оно образовано, т.е. если, например, схема образуется с помощью конъюнкции, то и сама она называется конъюнкцией.

Отрицанием A называется схема, обозначаемая выражением ØA (читается: «не-A», «неверно, что A»), которая принимает значение «истинно», если и только если A принимает значение «ложно». Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где «и» обозначает «истинно», а «л» – «ложно»:

Таблица 1

Конъюнкция A и B — схема, обозначаемая выражением AÙB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает как A, так и B (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение A Ù B читается: «A и B».

Таблица 2

Дизъюнкция слабая А и В — схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает хотя бы одно из A и B (см. 4-й столбец табл. 2). Выражение AÚB читается: «A или B».

Дизъюнкциия сильная А и В — схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает лишь одно из A и B (см. столбец 5-й табл. 2). Выражение AÚB читается: «либо A, либо B».

Импликация A и B — схема, обозначаемая выражением A®B, которая принимает значение «ложно», если и только если A принимает значение «истинно», а B – значение «ложно» (см. 6-й столбец табл. 2). Выражение A®B читается: «Если A, то B».

Эквиваленция A и B – схема, обозначаемая выражением A«B, которая принимает значение «истинно», если и только если логические значения A и B совпадают (см. 7-й столбец табл. 2). Выражение A«B читается: «A тогда и только тогда, когда B».

Алфавит логики высказываний включает символы:

1. p, q, r, s, … – символы, которые обозначают переменные для простых высказываний; A, B, C, D, … — символы, которые обозначают переменные для любых высказываний;

2. Ù, Ú, Ú, ®, «, Ø — символы для обозначения логических союзов;

3. (, ) – скобки как указатели совершения логических действий.

Никаких других символов в логике высказываний нет.

Осмысленное выражение языка логики высказываний определяется следующим образом:

1. Всякая переменная есть осмысленное выражение;

2. Если А – осмысленное выражение, то ØA, A Ù B, A Ú B, A Ú B, A®B, A«B — тоже осмысленные выражения;

3. Никаких других осмысленных выражений в логике высказываний нет.

Законы логики высказываний

Для выявления форм, являющихся логическими законами, можно воспользоваться таблицами истинности. Схема, порождающая только истинные сложные высказывания, является ЛОГИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ.

Наиболее простыми законами логики высказываний являются законы, которые можно выразить с помощью одной переменной – закон исключенного третьего, закон противоречия, закон тождества, закон удаления двойного отрицания, введения двойного отрицания и др.

Закон исключенного третьего – схема AÚØA – два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе ложными, выполняется одна из возможностей: если ложно одно из этих высказываний, то истинно его отрицание, а что-либо третье исключено.

Закон противоречия — схема Ø(AÙ ØA) — два отрицающих друг друга высказывания не являются вместе истинными, одно их них ложно.

Закон тождества – схема A«A – всякое высказывание является эквивалентным (тождественным) самому себе, следовательно, в правильном рассуждении оно согласуется с самим собой.

Закон удаления двойного отрицания– схема ØØA®A — отрицание дважды некоторого высказывание образует его утверждение.

Закон введения двойного отрицания – схема A ® ØØA — утверждение некоторого высказывание образует его двойное отрицание. Справедливость рассмотренных законов с одной переменной легко проверяется табличным способом (см. таблицу 5).

Таблица 5