Доказательство— логическая процедура, при которой тезис, то есть выражение, о котором пока неизвестно, истинно оно или нет, логически выводится из высказываний, истинность которых уже установлена. Тем самым относительно тезиса исчезают всякие сомнения — доказательство вынуждает признать его истинность.
Типичным примером доказательства может служить любое математическое рассуждение, по результатам которого принимается некоторая новая теорема. В нем эта теорема выступает в качестве тезиса, ранее доказанные теоремы и аксиомы, используемые при обосновании тезиса, – в качестве аргументов, а демонстрация представляет собой некоторую форму дедукции.
Различают доказательства прямые и косвенные. В прямом доказательстве тезис непосредственно вытекает из найденных доводов. Так, обосновывая тезис «дельфины – не рыбы» достаточно привести доводы: «дельфины — киты», а «рыбы – не киты», – из которых непосредственно последует данный тезис. При косвенном доказательстве идут окольным путем, используя при этом ложность некоторых высказываний, что, однако, приводит к признанию истинности тезиса. Наиболее распространенными разновидностями косвенного доказательства являются апагогическое (лат. apagoge – уводящий, отводящий) и разделительное доказательства.
При апагогическом доказательстве (оно называется также доказательством «от противного») устанавливается ложность антитезиса, т.е. высказывания, противоречащего тезису. Обычно это делается так. Сначала допускают, что антитезис является истинным, и из него выводятся следствия. Если хотя бы одно из полученных следствий вступает в противоречие с наличными истинными суждениями, то следствие признается ложным, а вслед за ним и сам антитезис, породивший данное следствие. Следовательно, тезис является истинным.
Как, например, врач может доказать своему клиенту, что тот не болен гриппом? Он может допустить антитезис, что тот болен гриппом. Но тогда из этого последует, что у него должны проявляться такие симптомы, как головная боль, высокая температура и др. Однако, этих симптомов у клиента нет – голова не болит, температура нормальная. Значит, антитезис является ложным, а тезис – истинным, т.е. доказанным.
При разделительном доказательстве истинность тезиса устанавливается путем исключения всех противостоящих ему альтернатив в соответствии с правилом удаления слабой дизъюнкции (УД):
|
AÚ B |
AÚ B |
|
|
ØA |
ØB |
|
|
B |
A |
Опровержение устанавливает ложность тезиса. Различают две разновидности опровержения: доказательство антитезиса и установление ложности следствий, вытекающих из тезиса. При опровержении некоторого высказывания путем доказательства антитезисасамостоятельно доказывается высказывание, противоречащеё опровергаемому тезису (антитезис). Например, если этим путем попытаться опровергнуть высказывание «Все русские философы – материалисты», то достаточно доказать антитезис » Некоторые русские философы – не материалисты». Истинность последнего вытекает, например, из высказывания «В.С.Соловьев – не материалист».
При опровержении тезиса путем установления ложности вытекающих из него следствий сначала делается допущение об истинности опровергаемого тезиса, и из него выводятся следствия. Если хотя бы одно из следствий не соответствует действительности, т.е. является ложным, то ложным будет и допущение (опровергаемый тезис). Таким способом, по мнению некоторых авторов, Галилей опровергал тезис о том, что скорость падающего тела зависит от его веса. Если это так, рассуждал Галилей, то два тела различного веса, соединенные жесткой связью, должны падать с Пизанской башни со скоростью, превышающей скорость каждого из них в отдельности. Но, в то же время, скорость данной системы тел должна быть равна величине, промежуточной между скоростями этих тел, поскольку скорость более легкого тела будет тормозить движение более тяжелого. Налицо взаимоисключающие следствия, а это значит, что по крайней мере одно из них ложно, следовательно, ложным, т.е. опровергнутым, будет исходный тезис.
Опровержение с помощью установления ложности следствий, вытекающих из тезиса, известно под названием опровержения способом «сведения к абсурду».
Таким образом, с помощью опровержения достигается негативный результат. Но он также обладает положительным эффектом – в том смысле, что сужается круг поиска и обоснования истинного положения.